Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pfxmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pfxmpt 41912
Description: Value of the prefix extractor as mapping. (Contributed by AV, 2-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
pfxmpt ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 prefix 𝐿) = (𝑥 ∈ (0..^𝐿) ↦ (𝑆𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐿   𝑥,𝑆   𝑥,𝐴

Proof of Theorem pfxmpt
StepHypRef Expression
1 elfznn0 12640 . . 3 (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
2 pfxval 41908 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 𝐿) = (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩))
31, 2sylan2 580 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 prefix 𝐿) = (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩))
4 simpl 468 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
51adantl 467 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 𝐿 ∈ ℕ0)
6 0elfz 12644 . . . 4 (𝐿 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝐿))
75, 6syl 17 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 0 ∈ (0...𝐿))
8 simpr 471 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
9 swrdval2 13628 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 0 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 0))))
104, 7, 8, 9syl3anc 1476 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 0))))
11 nn0cn 11509 . . . . . . 7 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℂ)
1211subid1d 10587 . . . . . 6 (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝐿 − 0) = 𝐿)
131, 12syl 17 . . . . 5 (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → (𝐿 − 0) = 𝐿)
1413oveq2d 6812 . . . 4 (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → (0..^(𝐿 − 0)) = (0..^𝐿))
1514adantl 467 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (0..^(𝐿 − 0)) = (0..^𝐿))
16 elfzonn0 12721 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
17 nn0cn 11509 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℂ)
1817addid1d 10442 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 0) = 𝑥)
1916, 18syl 17 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0)) → (𝑥 + 0) = 𝑥)
2019fveq2d 6337 . . . 4 (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0)) → (𝑆‘(𝑥 + 0)) = (𝑆𝑥))
2120adantl 467 . . 3 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0))) → (𝑆‘(𝑥 + 0)) = (𝑆𝑥))
2215, 21mpteq12dva 4867 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 0))) = (𝑥 ∈ (0..^𝐿) ↦ (𝑆𝑥)))
233, 10, 223eqtrd 2809 1 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 prefix 𝐿) = (𝑥 ∈ (0..^𝐿) ↦ (𝑆𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  cop 4323  cmpt 4864  cfv 6030  (class class class)co 6796  0cc0 10142   + caddc 10145  cmin 10472  0cn0 11499  ...cfz 12533  ..^cfzo 12673  chash 13321  Word cword 13487   substr csubstr 13491   prefix cpfx 41906
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-hash 13322  df-word 13495  df-substr 13499  df-pfx 41907
This theorem is referenced by:  pfxres  41913  pfxf  41914
  Copyright terms: Public domain W3C validator