Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pfxccatin12lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pfxccatin12lem2 41749
 Description: Lemma 2 for pfxccatin12 41750. Could replace swrdccatin12lem2 13535. (Contributed by AV, 9-May-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
pfxccatin12.l 𝐿 = (#‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
pfxccatin12lem2 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝐾) = ((𝐵 prefix (𝑁𝐿))‘(𝐾 − (#‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩))))))

Proof of Theorem pfxccatin12lem2
StepHypRef Expression
1 pfxccatin12.l . . . . . 6 𝐿 = (#‘𝐴)
21swrdccatin12lem2c 13534 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘(𝐴 ++ 𝐵)))))
32adantr 480 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘(𝐴 ++ 𝐵)))))
4 simprl 809 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → 𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)))
5 swrdfv 13469 . . . 4 ((((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝐾) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀)))
63, 4, 5syl2anc 694 . . 3 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝐾) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀)))
7 elfzoelz 12509 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) → 𝐾 ∈ ℤ)
8 elfz2nn0 12469 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (0...𝐿) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿))
9 nn0cn 11340 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℂ)
10 nn0cn 11340 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℂ)
119, 10anim12i 589 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ))
12 zcn 11420 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
13 subcl 10318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝐿𝑀) ∈ ℂ)
1413ancoms 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → (𝐿𝑀) ∈ ℂ)
1514anim2i 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ)) → (𝐾 ∈ ℂ ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℂ))
1615ancoms 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝐾 ∈ ℂ ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℂ))
17 subcl 10318 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℂ) → (𝐾 − (𝐿𝑀)) ∈ ℂ)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝐾 − (𝐿𝑀)) ∈ ℂ)
1918addid1d 10274 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝐾 − (𝐿𝑀)) + 0) = (𝐾 − (𝐿𝑀)))
20 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → 𝐾 ∈ ℂ)
21 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → 𝐿 ∈ ℂ)
22 simpll 805 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ ℂ)
2320, 21, 22subsub3d 10460 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝐾 − (𝐿𝑀)) = ((𝐾 + 𝑀) − 𝐿))
2419, 23eqtr2d 2686 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝐾 + 𝑀) − 𝐿) = ((𝐾 − (𝐿𝑀)) + 0))
2511, 12, 24syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 + 𝑀) − 𝐿) = ((𝐾 − (𝐿𝑀)) + 0))
26 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝐴) = 𝐿 → ((𝐾 + 𝑀) − (#‘𝐴)) = ((𝐾 + 𝑀) − 𝐿))
2726eqcoms 2659 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐿 = (#‘𝐴) → ((𝐾 + 𝑀) − (#‘𝐴)) = ((𝐾 + 𝑀) − 𝐿))
2827eqeq1d 2653 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐿 = (#‘𝐴) → (((𝐾 + 𝑀) − (#‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿𝑀)) + 0) ↔ ((𝐾 + 𝑀) − 𝐿) = ((𝐾 − (𝐿𝑀)) + 0)))
2925, 28syl5ibr 236 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐿 = (#‘𝐴) → (((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 + 𝑀) − (#‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿𝑀)) + 0)))
301, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 + 𝑀) − (#‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿𝑀)) + 0))
3130ex 449 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 + 𝑀) − (#‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿𝑀)) + 0)))
32313adant3 1101 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 + 𝑀) − (#‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿𝑀)) + 0)))
338, 32sylbi 207 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (0...𝐿) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 + 𝑀) − (#‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿𝑀)) + 0)))
3433ad2antrl 764 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 + 𝑀) − (#‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿𝑀)) + 0)))
357, 34syl5com 31 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) → (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → ((𝐾 + 𝑀) − (#‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿𝑀)) + 0)))
3635adantr 480 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀))) → (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → ((𝐾 + 𝑀) − (#‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿𝑀)) + 0)))
3736impcom 445 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → ((𝐾 + 𝑀) − (#‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿𝑀)) + 0))
3837fveq2d 6233 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → (𝐵‘((𝐾 + 𝑀) − (#‘𝐴))) = (𝐵‘((𝐾 − (𝐿𝑀)) + 0)))
39 simpll 805 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → (𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉))
40 swrdccatin12lem2a 13531 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀))) → (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^(𝐿 + (#‘𝐵)))))
4140adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀))) → (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^(𝐿 + (#‘𝐵)))))
4241imp 444 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^(𝐿 + (#‘𝐵))))
43 id 22 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝐴) = 𝐿 → (#‘𝐴) = 𝐿)
44 oveq1 6697 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝐴) = 𝐿 → ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) = (𝐿 + (#‘𝐵)))
4543, 44oveq12d 6708 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝐴) = 𝐿 → ((#‘𝐴)..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) = (𝐿..^(𝐿 + (#‘𝐵))))
4645eleq2d 2716 . . . . . . . . 9 ((#‘𝐴) = 𝐿 → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ((#‘𝐴)..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) ↔ (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^(𝐿 + (#‘𝐵)))))
4746eqcoms 2659 . . . . . . . 8 (𝐿 = (#‘𝐴) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ((#‘𝐴)..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) ↔ (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^(𝐿 + (#‘𝐵)))))
481, 47ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝐾 + 𝑀) ∈ ((#‘𝐴)..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) ↔ (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^(𝐿 + (#‘𝐵))))
4942, 48sylibr 224 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → (𝐾 + 𝑀) ∈ ((#‘𝐴)..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))))
50 df-3an 1056 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 + 𝑀) ∈ ((#‘𝐴)..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) ↔ ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝐾 + 𝑀) ∈ ((#‘𝐴)..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))))
5139, 49, 50sylanbrc 699 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → (𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 + 𝑀) ∈ ((#‘𝐴)..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))))
52 ccatval2 13396 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 + 𝑀) ∈ ((#‘𝐴)..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀)) = (𝐵‘((𝐾 + 𝑀) − (#‘𝐴))))
5351, 52syl 17 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀)) = (𝐵‘((𝐾 + 𝑀) − (#‘𝐴))))
54 simplr 807 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → 𝐵 ∈ Word 𝑉)
5554adantr 480 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → 𝐵 ∈ Word 𝑉)
56 lencl 13356 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
57 elfzel2 12378 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (0...𝐿) → 𝐿 ∈ ℤ)
58 zsubcl 11457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑁𝐿) ∈ ℤ)
5958ancoms 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁𝐿) ∈ ℤ)
6059adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐿𝑁) → (𝑁𝐿) ∈ ℤ)
61 zre 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
62 zre 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
63 subge0 10579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑁𝐿) ↔ 𝐿𝑁))
6461, 62, 63syl2anr 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ≤ (𝑁𝐿) ↔ 𝐿𝑁))
6564biimprd 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿𝑁 → 0 ≤ (𝑁𝐿)))
6665imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐿𝑁) → 0 ≤ (𝑁𝐿))
67 elnn0z 11428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑁𝐿) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁𝐿) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁𝐿)))
6860, 66, 67sylanbrc 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐿𝑁) → (𝑁𝐿) ∈ ℕ0)
6968expcom 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐿𝑁 → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁𝐿) ∈ ℕ0))
7069adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐿𝑁𝑁 ≤ (𝐿 + (#‘𝐵))) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁𝐿) ∈ ℕ0))
7170expcomd 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐿𝑁𝑁 ≤ (𝐿 + (#‘𝐵))) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑁𝐿) ∈ ℕ0)))
7271com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐿𝑁𝑁 ≤ (𝐿 + (#‘𝐵))) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑁𝐿) ∈ ℕ0)))
73723ad2ant3 1104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐿𝑁𝑁 ≤ (𝐿 + (#‘𝐵))) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑁𝐿) ∈ ℕ0)))
7473imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿𝑁𝑁 ≤ (𝐿 + (#‘𝐵)))) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑁𝐿) ∈ ℕ0))
7574com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐿 ∈ ℤ → (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿𝑁𝑁 ≤ (𝐿 + (#‘𝐵)))) → (𝑁𝐿) ∈ ℕ0))
7675adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ0) → (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿𝑁𝑁 ≤ (𝐿 + (#‘𝐵)))) → (𝑁𝐿) ∈ ℕ0))
7776imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿𝑁𝑁 ≤ (𝐿 + (#‘𝐵))))) → (𝑁𝐿) ∈ ℕ0)
78 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿𝑁𝑁 ≤ (𝐿 + (#‘𝐵))))) → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
79613ad2ant3 1104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
8079adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ0) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
8162adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℝ)
8281adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ0) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝐿 ∈ ℝ)
83 nn0re 11339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((#‘𝐵) ∈ ℕ0 → (#‘𝐵) ∈ ℝ)
8483adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ0) → (#‘𝐵) ∈ ℝ)
8584adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ0) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (#‘𝐵) ∈ ℝ)
86 lesubadd2 10539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℝ) → ((𝑁𝐿) ≤ (#‘𝐵) ↔ 𝑁 ≤ (𝐿 + (#‘𝐵))))
8786biimprd 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℝ) → (𝑁 ≤ (𝐿 + (#‘𝐵)) → (𝑁𝐿) ≤ (#‘𝐵)))
8880, 82, 85, 87syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ0) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁 ≤ (𝐿 + (#‘𝐵)) → (𝑁𝐿) ≤ (#‘𝐵)))
8988ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ0) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ (𝐿 + (#‘𝐵)) → (𝑁𝐿) ≤ (#‘𝐵))))
9089com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ≤ (𝐿 + (#‘𝐵)) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ0) → (𝑁𝐿) ≤ (#‘𝐵))))
9190adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐿𝑁𝑁 ≤ (𝐿 + (#‘𝐵))) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ0) → (𝑁𝐿) ≤ (#‘𝐵))))
9291impcom 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿𝑁𝑁 ≤ (𝐿 + (#‘𝐵)))) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ0) → (𝑁𝐿) ≤ (#‘𝐵)))
9392impcom 445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿𝑁𝑁 ≤ (𝐿 + (#‘𝐵))))) → (𝑁𝐿) ≤ (#‘𝐵))
9477, 78, 933jca 1261 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿𝑁𝑁 ≤ (𝐿 + (#‘𝐵))))) → ((𝑁𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝐿) ≤ (#‘𝐵)))
9594ex 449 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ0) → (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿𝑁𝑁 ≤ (𝐿 + (#‘𝐵)))) → ((𝑁𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝐿) ≤ (#‘𝐵))))
96 elfz2 12371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))) ↔ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿𝑁𝑁 ≤ (𝐿 + (#‘𝐵)))))
97 elfz2nn0 12469 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁𝐿) ∈ (0...(#‘𝐵)) ↔ ((𝑁𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝐿) ≤ (#‘𝐵)))
9895, 96, 973imtr4g 285 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))) → (𝑁𝐿) ∈ (0...(#‘𝐵))))
9998ex 449 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐿 ∈ ℤ → ((#‘𝐵) ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))) → (𝑁𝐿) ∈ (0...(#‘𝐵)))))
10099com23 86 . . . . . . . . . . . 12 (𝐿 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))) → ((#‘𝐵) ∈ ℕ0 → (𝑁𝐿) ∈ (0...(#‘𝐵)))))
10157, 100syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (0...𝐿) → (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))) → ((#‘𝐵) ∈ ℕ0 → (𝑁𝐿) ∈ (0...(#‘𝐵)))))
102101imp 444 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵)))) → ((#‘𝐵) ∈ ℕ0 → (𝑁𝐿) ∈ (0...(#‘𝐵))))
10356, 102syl5com 31 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ Word 𝑉 → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵)))) → (𝑁𝐿) ∈ (0...(#‘𝐵))))
104103adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵)))) → (𝑁𝐿) ∈ (0...(#‘𝐵))))
105104imp 444 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → (𝑁𝐿) ∈ (0...(#‘𝐵)))
106105adantr 480 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → (𝑁𝐿) ∈ (0...(#‘𝐵)))
107 pfxccatin12lem1 41748 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀))) → (𝐾 − (𝐿𝑀)) ∈ (0..^(𝑁𝐿))))
108107adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀))) → (𝐾 − (𝐿𝑀)) ∈ (0..^(𝑁𝐿))))
109108imp 444 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → (𝐾 − (𝐿𝑀)) ∈ (0..^(𝑁𝐿)))
110 pfxfv 41724 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁𝐿) ∈ (0...(#‘𝐵)) ∧ (𝐾 − (𝐿𝑀)) ∈ (0..^(𝑁𝐿))) → ((𝐵 prefix (𝑁𝐿))‘(𝐾 − (𝐿𝑀))) = (𝐵‘(𝐾 − (𝐿𝑀))))
11155, 106, 109, 110syl3anc 1366 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → ((𝐵 prefix (𝑁𝐿))‘(𝐾 − (𝐿𝑀))) = (𝐵‘(𝐾 − (𝐿𝑀))))
1127zcnd 11521 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) → 𝐾 ∈ ℂ)
113112ad2antrl 764 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → 𝐾 ∈ ℂ)
11457zcnd 11521 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (0...𝐿) → 𝐿 ∈ ℂ)
115114ad2antrl 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → 𝐿 ∈ ℂ)
116115adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → 𝐿 ∈ ℂ)
117 elfzelz 12380 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (0...𝐿) → 𝑀 ∈ ℤ)
118117zcnd 11521 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (0...𝐿) → 𝑀 ∈ ℂ)
119118ad2antrl 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → 𝑀 ∈ ℂ)
120119adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → 𝑀 ∈ ℂ)
121116, 120subcld 10430 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → (𝐿𝑀) ∈ ℂ)
122113, 121subcld 10430 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → (𝐾 − (𝐿𝑀)) ∈ ℂ)
123122addid1d 10274 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → ((𝐾 − (𝐿𝑀)) + 0) = (𝐾 − (𝐿𝑀)))
124123eqcomd 2657 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → (𝐾 − (𝐿𝑀)) = ((𝐾 − (𝐿𝑀)) + 0))
125124fveq2d 6233 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → (𝐵‘(𝐾 − (𝐿𝑀))) = (𝐵‘((𝐾 − (𝐿𝑀)) + 0)))
126111, 125eqtrd 2685 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → ((𝐵 prefix (𝑁𝐿))‘(𝐾 − (𝐿𝑀))) = (𝐵‘((𝐾 − (𝐿𝑀)) + 0)))
12738, 53, 1263eqtr4d 2695 . . 3 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀)) = ((𝐵 prefix (𝑁𝐿))‘(𝐾 − (𝐿𝑀))))
128 simpll 805 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → 𝐴 ∈ Word 𝑉)
129 simprl 809 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → 𝑀 ∈ (0...𝐿))
130 lencl 13356 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
131 elnn0uz 11763 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ (#‘𝐴) ∈ (ℤ‘0))
132 eluzfz2 12387 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝐴) ∈ (ℤ‘0) → (#‘𝐴) ∈ (0...(#‘𝐴)))
133131, 132sylbi 207 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝐴) ∈ ℕ0 → (#‘𝐴) ∈ (0...(#‘𝐴)))
1341, 133syl5eqel 2734 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝐴) ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...(#‘𝐴)))
135130, 134syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(#‘𝐴)))
136135adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → 𝐿 ∈ (0...(#‘𝐴)))
137136adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → 𝐿 ∈ (0...(#‘𝐴)))
138128, 129, 1373jca 1261 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → (𝐴 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(#‘𝐴))))
139138adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → (𝐴 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(#‘𝐴))))
140 swrdlen 13468 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(#‘𝐴))) → (#‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)) = (𝐿𝑀))
141139, 140syl 17 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → (#‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)) = (𝐿𝑀))
142141eqcomd 2657 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → (𝐿𝑀) = (#‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)))
143142oveq2d 6706 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → (𝐾 − (𝐿𝑀)) = (𝐾 − (#‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩))))
144143fveq2d 6233 . . 3 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → ((𝐵 prefix (𝑁𝐿))‘(𝐾 − (𝐿𝑀))) = ((𝐵 prefix (𝑁𝐿))‘(𝐾 − (#‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)))))
1456, 127, 1443eqtrd 2689 . 2 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝐾) = ((𝐵 prefix (𝑁𝐿))‘(𝐾 − (#‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)))))
146145ex 449 1 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝐾) = ((𝐵 prefix (𝑁𝐿))‘(𝐾 − (#‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩))))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ⟨cop 4216   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  ℝcr 9973  0cc0 9974   + caddc 9977   ≤ cle 10113   − cmin 10304  ℕ0cn0 11330  ℤcz 11415  ℤ≥cuz 11725  ...cfz 12364  ..^cfzo 12504  #chash 13157  Word cword 13323   ++ cconcat 13325   substr csubstr 13327   prefix cpfx 41706 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-concat 13333  df-substr 13335  df-pfx 41707 This theorem is referenced by:  pfxccatin12  41750
 Copyright terms: Public domain W3C validator