Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pfx2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pfx2 41922
Description: A prefix of length 2. (Contributed by AV, 15-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
pfx2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 prefix 2) = ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩)

Proof of Theorem pfx2
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn0 11501 . . . 4 2 ∈ ℕ0
21a1i 11 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 2 ∈ ℕ0)
3 lencl 13510 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
43adantr 472 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
5 simpr 479 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 2 ≤ (♯‘𝑊))
6 elfz2nn0 12624 . . 3 (2 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)))
72, 4, 5, 6syl3anbrc 1429 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 2 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
8 pfxlen 41901 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix 2)) = 2)
9 s2len 13834 . . . . . . 7 (♯‘⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩) = 2
109eqcomi 2769 . . . . . 6 2 = (♯‘⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩)
1110a1i 11 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘(𝑊 prefix 2)) = 2) → 2 = (♯‘⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩))
12 simpl 474 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
13 simpr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → 2 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
14 2nn 11377 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ
15 lbfzo0 12702 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ (0..^2) ↔ 2 ∈ ℕ)
1614, 15mpbir 221 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ (0..^2)
1716a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → 0 ∈ (0..^2))
1812, 13, 173jca 1123 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 0 ∈ (0..^2)))
1918adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘(𝑊 prefix 2)) = 2) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 0 ∈ (0..^2)))
20 pfxfv 41909 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 0 ∈ (0..^2)) → ((𝑊 prefix 2)‘0) = (𝑊‘0))
2119, 20syl 17 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘(𝑊 prefix 2)) = 2) → ((𝑊 prefix 2)‘0) = (𝑊‘0))
22 fvex 6362 . . . . . . . 8 (𝑊‘0) ∈ V
23 s2fv0 13832 . . . . . . . 8 ((𝑊‘0) ∈ V → (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘0) = (𝑊‘0))
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . 7 (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘0) = (𝑊‘0)
2521, 24syl6eqr 2812 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘(𝑊 prefix 2)) = 2) → ((𝑊 prefix 2)‘0) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘0))
26 1nn0 11500 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℕ0
27 1lt2 11386 . . . . . . . . . 10 1 < 2
28 elfzo0 12703 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ (0..^2) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 1 < 2))
2926, 14, 27, 28mpbir3an 1427 . . . . . . . . 9 1 ∈ (0..^2)
30 pfxfv 41909 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 1 ∈ (0..^2)) → ((𝑊 prefix 2)‘1) = (𝑊‘1))
3129, 30mp3an3 1562 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix 2)‘1) = (𝑊‘1))
32 fvex 6362 . . . . . . . . 9 (𝑊‘1) ∈ V
33 s2fv1 13833 . . . . . . . . 9 ((𝑊‘1) ∈ V → (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘1) = (𝑊‘1))
3432, 33ax-mp 5 . . . . . . . 8 (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘1) = (𝑊‘1)
3531, 34syl6eqr 2812 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix 2)‘1) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘1))
3635adantr 472 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘(𝑊 prefix 2)) = 2) → ((𝑊 prefix 2)‘1) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘1))
37 0nn0 11499 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℕ0
3837, 26pm3.2i 470 . . . . . . . 8 (0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0)
3938a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘(𝑊 prefix 2)) = 2) → (0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0))
40 fveq2 6352 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 0 → ((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = ((𝑊 prefix 2)‘0))
41 fveq2 6352 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 0 → (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘0))
4240, 41eqeq12d 2775 . . . . . . . 8 (𝑖 = 0 → (((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖) ↔ ((𝑊 prefix 2)‘0) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘0)))
43 fveq2 6352 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 1 → ((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = ((𝑊 prefix 2)‘1))
44 fveq2 6352 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 1 → (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘1))
4543, 44eqeq12d 2775 . . . . . . . 8 (𝑖 = 1 → (((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖) ↔ ((𝑊 prefix 2)‘1) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘1)))
4642, 45ralprg 4378 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (∀𝑖 ∈ {0, 1} ((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖) ↔ (((𝑊 prefix 2)‘0) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘0) ∧ ((𝑊 prefix 2)‘1) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘1))))
4739, 46syl 17 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘(𝑊 prefix 2)) = 2) → (∀𝑖 ∈ {0, 1} ((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖) ↔ (((𝑊 prefix 2)‘0) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘0) ∧ ((𝑊 prefix 2)‘1) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘1))))
4825, 36, 47mpbir2and 995 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘(𝑊 prefix 2)) = 2) → ∀𝑖 ∈ {0, 1} ((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖))
49 eqeq1 2764 . . . . . . 7 ((♯‘(𝑊 prefix 2)) = 2 → ((♯‘(𝑊 prefix 2)) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩) ↔ 2 = (♯‘⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩)))
50 oveq2 6821 . . . . . . . . 9 ((♯‘(𝑊 prefix 2)) = 2 → (0..^(♯‘(𝑊 prefix 2))) = (0..^2))
51 fzo0to2pr 12747 . . . . . . . . 9 (0..^2) = {0, 1}
5250, 51syl6eq 2810 . . . . . . . 8 ((♯‘(𝑊 prefix 2)) = 2 → (0..^(♯‘(𝑊 prefix 2))) = {0, 1})
5352raleqdv 3283 . . . . . . 7 ((♯‘(𝑊 prefix 2)) = 2 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 2)))((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ {0, 1} ((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖)))
5449, 53anbi12d 749 . . . . . 6 ((♯‘(𝑊 prefix 2)) = 2 → (((♯‘(𝑊 prefix 2)) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 2)))((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖)) ↔ (2 = (♯‘⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩) ∧ ∀𝑖 ∈ {0, 1} ((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖))))
5554adantl 473 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘(𝑊 prefix 2)) = 2) → (((♯‘(𝑊 prefix 2)) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 2)))((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖)) ↔ (2 = (♯‘⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩) ∧ ∀𝑖 ∈ {0, 1} ((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖))))
5611, 48, 55mpbir2and 995 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘(𝑊 prefix 2)) = 2) → ((♯‘(𝑊 prefix 2)) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 2)))((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖)))
578, 56mpdan 705 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((♯‘(𝑊 prefix 2)) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 2)))((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖)))
58 pfxcl 41896 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix 2) ∈ Word 𝑉)
5958adantr 472 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 prefix 2) ∈ Word 𝑉)
60 simp2 1132 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
61 1red 10247 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
62 2re 11282 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℝ
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
64 nn0re 11493 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
6561, 63, 643jca 1123 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ))
66 ltleletr 10322 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → ((1 < 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 1 ≤ (♯‘𝑊)))
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((1 < 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 1 ≤ (♯‘𝑊)))
6827, 67mpani 714 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (2 ≤ (♯‘𝑊) → 1 ≤ (♯‘𝑊)))
6968imp 444 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 1 ≤ (♯‘𝑊))
70693adant1 1125 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 1 ≤ (♯‘𝑊))
7160, 70jca 555 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊)))
72 elnnnn0c 11530 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊)))
7371, 72sylibr 224 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
746, 73sylbi 207 . . . . . . 7 (2 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
75 lbfzo0 12702 . . . . . . 7 (0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
7674, 75sylibr 224 . . . . . 6 (2 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
77 wrdsymbcl 13504 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘0) ∈ 𝑉)
7876, 77sylan2 492 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊‘0) ∈ 𝑉)
7926a1i 11 . . . . . . 7 (2 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 1 ∈ ℕ0)
8065adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) → (1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ))
81 ltletr 10321 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → ((1 < 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 1 < (♯‘𝑊)))
8280, 81syl 17 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) → ((1 < 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 1 < (♯‘𝑊)))
8327, 82mpani 714 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) → (2 ≤ (♯‘𝑊) → 1 < (♯‘𝑊)))
84833impia 1110 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 1 < (♯‘𝑊))
856, 84sylbi 207 . . . . . . 7 (2 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 1 < (♯‘𝑊))
86 elfzo0 12703 . . . . . . 7 (1 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 1 < (♯‘𝑊)))
8779, 74, 85, 86syl3anbrc 1429 . . . . . 6 (2 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 1 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
88 wrdsymbcl 13504 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘1) ∈ 𝑉)
8987, 88sylan2 492 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊‘1) ∈ 𝑉)
9078, 89s2cld 13816 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩ ∈ Word 𝑉)
91 eqwrd 13533 . . . 4 (((𝑊 prefix 2) ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩ ∈ Word 𝑉) → ((𝑊 prefix 2) = ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩ ↔ ((♯‘(𝑊 prefix 2)) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 2)))((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖))))
9259, 90, 91syl2anc 696 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix 2) = ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩ ↔ ((♯‘(𝑊 prefix 2)) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 2)))((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖))))
9357, 92mpbird 247 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 prefix 2) = ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩)
947, 93syldan 488 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 prefix 2) = ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  Vcvv 3340  {cpr 4323   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6813  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   < clt 10266  cle 10267  cn 11212  2c2 11262  0cn0 11484  ...cfz 12519  ..^cfzo 12659  chash 13311  Word cword 13477  ⟨“cs2 13786   prefix cpfx 41891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-hash 13312  df-word 13485  df-concat 13487  df-s1 13488  df-substr 13489  df-s2 13793  df-pfx 41892
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator