MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pf1subrg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pf1subrg 19927
Description: Polynomial functions are a subring. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pf1const.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
pf1const.q 𝑄 = ran (eval1𝑅)
Assertion
Ref Expression
pf1subrg (𝑅 ∈ CRing → 𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑅s 𝐵)))

Proof of Theorem pf1subrg
StepHypRef Expression
1 eqid 2771 . . . . 5 (eval1𝑅) = (eval1𝑅)
2 eqid 2771 . . . . 5 (Poly1𝑅) = (Poly1𝑅)
3 eqid 2771 . . . . 5 (𝑅s 𝐵) = (𝑅s 𝐵)
4 pf1const.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
51, 2, 3, 4evl1rhm 19911 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → (eval1𝑅) ∈ ((Poly1𝑅) RingHom (𝑅s 𝐵)))
6 eqid 2771 . . . . 5 (Base‘(Poly1𝑅)) = (Base‘(Poly1𝑅))
7 eqid 2771 . . . . 5 (Base‘(𝑅s 𝐵)) = (Base‘(𝑅s 𝐵))
86, 7rhmf 18936 . . . 4 ((eval1𝑅) ∈ ((Poly1𝑅) RingHom (𝑅s 𝐵)) → (eval1𝑅):(Base‘(Poly1𝑅))⟶(Base‘(𝑅s 𝐵)))
9 ffn 6185 . . . 4 ((eval1𝑅):(Base‘(Poly1𝑅))⟶(Base‘(𝑅s 𝐵)) → (eval1𝑅) Fn (Base‘(Poly1𝑅)))
10 fnima 6150 . . . 4 ((eval1𝑅) Fn (Base‘(Poly1𝑅)) → ((eval1𝑅) “ (Base‘(Poly1𝑅))) = ran (eval1𝑅))
115, 8, 9, 104syl 19 . . 3 (𝑅 ∈ CRing → ((eval1𝑅) “ (Base‘(Poly1𝑅))) = ran (eval1𝑅))
12 pf1const.q . . 3 𝑄 = ran (eval1𝑅)
1311, 12syl6eqr 2823 . 2 (𝑅 ∈ CRing → ((eval1𝑅) “ (Base‘(Poly1𝑅))) = 𝑄)
142ply1assa 19784 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → (Poly1𝑅) ∈ AssAlg)
15 assaring 19535 . . . 4 ((Poly1𝑅) ∈ AssAlg → (Poly1𝑅) ∈ Ring)
166subrgid 18992 . . . 4 ((Poly1𝑅) ∈ Ring → (Base‘(Poly1𝑅)) ∈ (SubRing‘(Poly1𝑅)))
1714, 15, 163syl 18 . . 3 (𝑅 ∈ CRing → (Base‘(Poly1𝑅)) ∈ (SubRing‘(Poly1𝑅)))
18 rhmima 19021 . . 3 (((eval1𝑅) ∈ ((Poly1𝑅) RingHom (𝑅s 𝐵)) ∧ (Base‘(Poly1𝑅)) ∈ (SubRing‘(Poly1𝑅))) → ((eval1𝑅) “ (Base‘(Poly1𝑅))) ∈ (SubRing‘(𝑅s 𝐵)))
195, 17, 18syl2anc 573 . 2 (𝑅 ∈ CRing → ((eval1𝑅) “ (Base‘(Poly1𝑅))) ∈ (SubRing‘(𝑅s 𝐵)))
2013, 19eqeltrrd 2851 1 (𝑅 ∈ CRing → 𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑅s 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145  ran crn 5250  cima 5252   Fn wfn 6026  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  s cpws 16315  Ringcrg 18755  CRingccrg 18756   RingHom crh 18922  SubRingcsubrg 18986  AssAlgcasa 19524  Poly1cpl1 19762  eval1ce1 19894
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-ofr 7045  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-sup 8504  df-oi 8571  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-hom 16174  df-cco 16175  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-prds 16316  df-pws 16318  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-mulg 17749  df-subg 17799  df-ghm 17866  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-srg 18714  df-ring 18757  df-cring 18758  df-rnghom 18925  df-subrg 18988  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-lsp 19185  df-assa 19527  df-asp 19528  df-ascl 19529  df-psr 19571  df-mvr 19572  df-mpl 19573  df-opsr 19575  df-evls 19721  df-evl 19722  df-psr1 19765  df-ply1 19767  df-evl1 19896
This theorem is referenced by:  pf1f  19929  pf1addcl  19932  pf1mulcl  19933
  Copyright terms: Public domain W3C validator