Theorem pf1mulcl 19932

Description: The product of multivariate polynomial functions. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pf1rcl.q	⊢ 𝑄 = ran (eval1‘𝑅)
pf1mulcl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
pf1mulcl	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺) ∈ 𝑄)

Proof of Theorem pf1mulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2770	. . 3 ⊢ (𝑅 ↑s (Base‘𝑅)) = (𝑅 ↑s (Base‘𝑅))
2		eqid 2770	. . 3 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅))) = (Base‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅)))
3		pf1rcl.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = ran (eval1‘𝑅)
4	3	pf1rcl 19927	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → 𝑅 ∈ CRing)
5	4	adantr 466	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → 𝑅 ∈ CRing)
6		fvexd 6344	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → (Base‘𝑅) ∈ V)
7		eqid 2770	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8	3, 7	pf1f 19928	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
9	8	adantr 466	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
10		fvex 6342	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
11	1, 7, 2	pwselbasb 16355	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (Base‘𝑅) ∈ V) → (𝐹 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅))) ↔ 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅)))
12	5, 10, 11	sylancl 566	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → (𝐹 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅))) ↔ 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅)))
13	9, 12	mpbird 247	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → 𝐹 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅))))
14	3, 7	pf1f 19928	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑄 → 𝐺:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
15	14	adantl 467	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → 𝐺:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
16	1, 7, 2	pwselbasb 16355	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (Base‘𝑅) ∈ V) → (𝐺 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅))) ↔ 𝐺:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅)))
17	5, 10, 16	sylancl 566	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → (𝐺 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅))) ↔ 𝐺:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅)))
18	15, 17	mpbird 247	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → 𝐺 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅))))
19		pf1mulcl.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
20		eqid 2770	. . 3 ⊢ (.r‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅))) = (.r‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅)))
21	1, 2, 5, 6, 13, 18, 19, 20	pwsmulrval 16358	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → (𝐹(.r‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅)))𝐺) = (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺))
22	7, 3	pf1subrg 19926	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅))))
23	5, 22	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → 𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅))))
24	20	subrgmcl 19001	. . . 4 ⊢ ((𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅))) ∧ 𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → (𝐹(.r‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅)))𝐺) ∈ 𝑄)
25	24	3expib 1115	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅))) → ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → (𝐹(.r‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅)))𝐺) ∈ 𝑄))
26	23, 25	mpcom 38	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → (𝐹(.r‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅)))𝐺) ∈ 𝑄)
27	21, 26	eqeltrrd 2850	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺) ∈ 𝑄)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1630   ∈ wcel 2144  Vcvv 3349  ran crn 5250  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792   ∘_𝑓 cof 7041  Basecbs 16063  ._rcmulr 16149   ↑_s cpws 16314  CRingccrg 18755  SubRingcsubrg 18985  eval₁ce1 19893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-iin 4655  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7043  df-ofr 7044  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-supp 7446  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-pm 8011  df-ixp 8062  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-fsupp 8431  df-sup 8503  df-oi 8570  df-card 8964  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-seq 13008  df-hash 13321  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-ip 16166  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-hom 16173  df-cco 16174  df-0g 16309  df-gsum 16310  df-prds 16315  df-pws 16317  df-mre 16453  df-mrc 16454  df-acs 16456  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-mhm 17542  df-submnd 17543  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-sbg 17634  df-mulg 17748  df-subg 17798  df-ghm 17865  df-cntz 17956  df-cmn 18401  df-abl 18402  df-mgp 18697  df-ur 18709  df-srg 18713  df-ring 18756  df-cring 18757  df-rnghom 18924  df-subrg 18987  df-lmod 19074  df-lss 19142  df-lsp 19184  df-assa 19526  df-asp 19527  df-ascl 19528  df-psr 19570  df-mvr 19571  df-mpl 19572  df-opsr 19574  df-evls 19720  df-evl 19721  df-psr1 19764  df-ply1 19766  df-evl1 19895

This theorem is referenced by: (None)