Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pexmidlem8N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pexmidlem8N 35785
Description: Lemma for pexmidN 35777. The contradiction of pexmidlem6N 35783 and pexmidlem7N 35784 shows that there can be no atom 𝑝 that is not in 𝑋 + ( 𝑋), which is therefore the whole atom space. (Contributed by NM, 3-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pexmidALT.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pexmidALT.p + = (+𝑃𝐾)
pexmidALT.o = (⊥𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
pexmidlem8N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋 + ( 𝑋)) = 𝐴)

Proof of Theorem pexmidlem8N
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nonconne 2955 . 2 ¬ (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋)
2 simpll 750 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) → 𝐾 ∈ HL)
3 simplr 752 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋𝐴)
4 pexmidALT.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 pexmidALT.o . . . . . . 7 = (⊥𝑃𝐾)
64, 5polssatN 35716 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( 𝑋) ⊆ 𝐴)
76adantr 466 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) → ( 𝑋) ⊆ 𝐴)
8 pexmidALT.p . . . . . 6 + = (+𝑃𝐾)
94, 8paddssat 35622 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴 ∧ ( 𝑋) ⊆ 𝐴) → (𝑋 + ( 𝑋)) ⊆ 𝐴)
102, 3, 7, 9syl3anc 1476 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋 + ( 𝑋)) ⊆ 𝐴)
11 df-pss 3739 . . . . . . 7 ((𝑋 + ( 𝑋)) ⊊ 𝐴 ↔ ((𝑋 + ( 𝑋)) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑋 + ( 𝑋)) ≠ 𝐴))
12 pssnel 4181 . . . . . . 7 ((𝑋 + ( 𝑋)) ⊊ 𝐴 → ∃𝑝(𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋))))
1311, 12sylbir 225 . . . . . 6 (((𝑋 + ( 𝑋)) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑋 + ( 𝑋)) ≠ 𝐴) → ∃𝑝(𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋))))
14 df-rex 3067 . . . . . 6 (∃𝑝𝐴 ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)) ↔ ∃𝑝(𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋))))
1513, 14sylibr 224 . . . . 5 (((𝑋 + ( 𝑋)) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑋 + ( 𝑋)) ≠ 𝐴) → ∃𝑝𝐴 ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))
16 simplll 758 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → 𝐾 ∈ HL)
17 simpllr 760 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → 𝑋𝐴)
18 simprl 754 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → 𝑝𝐴)
19 simplrl 762 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)
20 simplrr 763 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → 𝑋 ≠ ∅)
21 simprr 756 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))
22 eqid 2771 . . . . . . . . . 10 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
23 eqid 2771 . . . . . . . . . 10 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
24 eqid 2771 . . . . . . . . . 10 (𝑋 + {𝑝}) = (𝑋 + {𝑝})
2522, 23, 4, 8, 5, 24pexmidlem6N 35783 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → (𝑋 + {𝑝}) = 𝑋)
2622, 23, 4, 8, 5, 24pexmidlem7N 35784 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → (𝑋 + {𝑝}) ≠ 𝑋)
2725, 26jca 501 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → ((𝑋 + {𝑝}) = 𝑋 ∧ (𝑋 + {𝑝}) ≠ 𝑋))
2816, 17, 18, 19, 20, 21, 27syl33anc 1491 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → ((𝑋 + {𝑝}) = 𝑋 ∧ (𝑋 + {𝑝}) ≠ 𝑋))
29 nonconne 2955 . . . . . . . 8 ¬ ((𝑋 + {𝑝}) = 𝑋 ∧ (𝑋 + {𝑝}) ≠ 𝑋)
3029, 12false 364 . . . . . . 7 (((𝑋 + {𝑝}) = 𝑋 ∧ (𝑋 + {𝑝}) ≠ 𝑋) ↔ (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋))
3128, 30sylib 208 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋))
3231rexlimdvaa 3180 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) → (∃𝑝𝐴 ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)) → (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋)))
3315, 32syl5 34 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) → (((𝑋 + ( 𝑋)) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑋 + ( 𝑋)) ≠ 𝐴) → (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋)))
3410, 33mpand 675 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) → ((𝑋 + ( 𝑋)) ≠ 𝐴 → (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋)))
3534necon1bd 2961 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) → (¬ (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋) → (𝑋 + ( 𝑋)) = 𝐴))
361, 35mpi 20 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋 + ( 𝑋)) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wex 1852  wcel 2145  wne 2943  wrex 3062  wss 3723  wpss 3724  c0 4063  {csn 4316  cfv 6031  (class class class)co 6793  lecple 16156  joincjn 17152  Atomscatm 35072  HLchlt 35159  +𝑃cpadd 35603  𝑃cpolN 35710
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-riotaBAD 34761
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-undef 7551  df-preset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-p0 17247  df-p1 17248  df-lat 17254  df-clat 17316  df-oposet 34985  df-ol 34987  df-oml 34988  df-covers 35075  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160  df-psubsp 35311  df-pmap 35312  df-padd 35604  df-polarityN 35711  df-psubclN 35743
This theorem is referenced by:  pexmidALTN  35786
  Copyright terms: Public domain W3C validator