Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  perpdragALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem perpdragALT 25840
 Description: Deduce a right angle from perpendicular lines. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2019.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
colperpex.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
colperpex.d = (dist‘𝐺)
colperpex.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
colperpex.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
colperpex.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
perpdrag.1 (𝜑𝐴𝐷)
perpdrag.2 (𝜑𝐵𝐷)
perpdrag.3 (𝜑𝐶𝑃)
perpdrag.4 (𝜑𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐶))
Assertion
Ref Expression
perpdragALT (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Proof of Theorem perpdragALT
StepHypRef Expression
1 eqidd 2772 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐴)
2 simpr 471 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
3 eqidd 2772 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐶)
41, 2, 3s3eqd 13818 . . 3 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → ⟨“𝐴𝐴𝐶”⟩ = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
5 colperpex.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝐺)
6 colperpex.d . . . . 5 = (dist‘𝐺)
7 colperpex.i . . . . 5 𝐼 = (Itv‘𝐺)
8 colperpex.l . . . . 5 𝐿 = (LineG‘𝐺)
9 eqid 2771 . . . . 5 (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
10 colperpex.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
11 perpdrag.3 . . . . 5 (𝜑𝐶𝑃)
12 perpdrag.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐶))
138, 10, 12perpln1 25826 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
14 perpdrag.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐷)
155, 8, 7, 10, 13, 14tglnpt 25665 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
165, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 15, 11ragtrivb 25818 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“𝐶𝐴𝐴”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
175, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 15, 15, 16ragcom 25814 . . . 4 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐴𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
1817adantr 466 . . 3 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → ⟨“𝐴𝐴𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
194, 18eqeltrrd 2851 . 2 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
2010adantr 466 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
2115adantr 466 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴𝑃)
22 perpdrag.2 . . . . 5 (𝜑𝐵𝐷)
235, 8, 7, 10, 13, 22tglnpt 25665 . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
2423adantr 466 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐵𝑃)
2522adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐵𝐷)
26 simpr 471 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
2713adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
2814adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴𝐷)
295, 7, 8, 20, 21, 24, 26, 26, 27, 28, 25tglinethru 25752 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐷 = (𝐴𝐿𝐵))
3025, 29eleqtrd 2852 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
3111adantr 466 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐶𝑃)
3212adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐶))
3329, 32eqbrtrrd 4811 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐶))
345, 6, 7, 8, 20, 21, 24, 30, 31, 33perprag 25839 . 2 ((𝜑𝐴𝐵) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
3519, 34pm2.61dane 3030 1 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943   class class class wbr 4787  ran crn 5251  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796  ⟨“cs3 13796  Basecbs 16064  distcds 16158  TarskiGcstrkg 25550  Itvcitv 25556  LineGclng 25557  pInvGcmir 25768  ∟Gcrag 25809  ⟂Gcperpg 25811 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-pm 8016  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-card 8969  df-cda 9196  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-n0 11500  df-xnn0 11571  df-z 11585  df-uz 11894  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-hash 13322  df-word 13495  df-concat 13497  df-s1 13498  df-s2 13802  df-s3 13803  df-trkgc 25568  df-trkgb 25569  df-trkgcb 25570  df-trkg 25573  df-cgrg 25627  df-mir 25769  df-rag 25810  df-perpg 25812 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator