Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  perpcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem perpcom 25829
 Description: The "perpendicular" relation commutes. Theorem 8.12 of [Schwabhauser] p. 59. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
isperp.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
isperp.d = (dist‘𝐺)
isperp.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
isperp.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
isperp.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
isperp.a (𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿)
isperp.b (𝜑𝐵 ∈ ran 𝐿)
perpcom.1 (𝜑𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵)
Assertion
Ref Expression
perpcom (𝜑𝐵(⟂G‘𝐺)𝐴)

Proof of Theorem perpcom
Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 perpcom.1 . 2 (𝜑𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵)
2 incom 3956 . . . . 5 (𝐴𝐵) = (𝐵𝐴)
32a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐵) = (𝐵𝐴))
4 ralcom 3246 . . . . 5 (∀𝑢𝐴𝑣𝐵 ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ ∀𝑣𝐵𝑢𝐴 ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
5 isperp.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Base‘𝐺)
6 isperp.d . . . . . . . 8 = (dist‘𝐺)
7 isperp.i . . . . . . . 8 𝐼 = (Itv‘𝐺)
8 isperp.l . . . . . . . 8 𝐿 = (LineG‘𝐺)
9 eqid 2771 . . . . . . . 8 (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
10 isperp.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
1110ad3antrrr 709 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ (𝑣𝐵𝑢𝐴)) ∧ ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
12 isperp.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿)
1312ad3antrrr 709 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ (𝑣𝐵𝑢𝐴)) ∧ ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
14 simplrr 763 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ (𝑣𝐵𝑢𝐴)) ∧ ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → 𝑢𝐴)
155, 8, 7, 11, 13, 14tglnpt 25665 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ (𝑣𝐵𝑢𝐴)) ∧ ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → 𝑢𝑃)
16 inss1 3981 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
17 simpllr 760 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ (𝑣𝐵𝑢𝐴)) ∧ ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐵))
1816, 17sseldi 3750 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ (𝑣𝐵𝑢𝐴)) ∧ ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → 𝑥𝐴)
195, 8, 7, 11, 13, 18tglnpt 25665 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ (𝑣𝐵𝑢𝐴)) ∧ ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → 𝑥𝑃)
20 isperp.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ran 𝐿)
2120ad3antrrr 709 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ (𝑣𝐵𝑢𝐴)) ∧ ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
22 simplrl 762 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ (𝑣𝐵𝑢𝐴)) ∧ ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → 𝑣𝐵)
235, 8, 7, 11, 21, 22tglnpt 25665 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ (𝑣𝐵𝑢𝐴)) ∧ ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → 𝑣𝑃)
24 simpr 471 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ (𝑣𝐵𝑢𝐴)) ∧ ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
255, 6, 7, 8, 9, 11, 15, 19, 23, 24ragcom 25814 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ (𝑣𝐵𝑢𝐴)) ∧ ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → ⟨“𝑣𝑥𝑢”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
2610ad3antrrr 709 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ (𝑣𝐵𝑢𝐴)) ∧ ⟨“𝑣𝑥𝑢”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
2720ad3antrrr 709 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ (𝑣𝐵𝑢𝐴)) ∧ ⟨“𝑣𝑥𝑢”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
28 simplrl 762 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ (𝑣𝐵𝑢𝐴)) ∧ ⟨“𝑣𝑥𝑢”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → 𝑣𝐵)
295, 8, 7, 26, 27, 28tglnpt 25665 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ (𝑣𝐵𝑢𝐴)) ∧ ⟨“𝑣𝑥𝑢”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → 𝑣𝑃)
3012ad3antrrr 709 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ (𝑣𝐵𝑢𝐴)) ∧ ⟨“𝑣𝑥𝑢”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
31 simpllr 760 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ (𝑣𝐵𝑢𝐴)) ∧ ⟨“𝑣𝑥𝑢”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐵))
3216, 31sseldi 3750 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ (𝑣𝐵𝑢𝐴)) ∧ ⟨“𝑣𝑥𝑢”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → 𝑥𝐴)
335, 8, 7, 26, 30, 32tglnpt 25665 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ (𝑣𝐵𝑢𝐴)) ∧ ⟨“𝑣𝑥𝑢”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → 𝑥𝑃)
34 simplrr 763 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ (𝑣𝐵𝑢𝐴)) ∧ ⟨“𝑣𝑥𝑢”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → 𝑢𝐴)
355, 8, 7, 26, 30, 34tglnpt 25665 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ (𝑣𝐵𝑢𝐴)) ∧ ⟨“𝑣𝑥𝑢”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → 𝑢𝑃)
36 simpr 471 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ (𝑣𝐵𝑢𝐴)) ∧ ⟨“𝑣𝑥𝑢”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → ⟨“𝑣𝑥𝑢”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
375, 6, 7, 8, 9, 26, 29, 33, 35, 36ragcom 25814 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ (𝑣𝐵𝑢𝐴)) ∧ ⟨“𝑣𝑥𝑢”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
3825, 37impbida 802 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ (𝑣𝐵𝑢𝐴)) → (⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ ⟨“𝑣𝑥𝑢”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
39382ralbidva 3137 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) → (∀𝑣𝐵𝑢𝐴 ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ ∀𝑣𝐵𝑢𝐴 ⟨“𝑣𝑥𝑢”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
404, 39syl5bb 272 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) → (∀𝑢𝐴𝑣𝐵 ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ ∀𝑣𝐵𝑢𝐴 ⟨“𝑣𝑥𝑢”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
413, 40rexeqbidva 3304 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝐴𝐵)∀𝑢𝐴𝑣𝐵 ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝐵𝐴)∀𝑣𝐵𝑢𝐴 ⟨“𝑣𝑥𝑢”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
425, 6, 7, 8, 10, 12, 20isperp 25828 . . 3 (𝜑 → (𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝐴𝐵)∀𝑢𝐴𝑣𝐵 ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
435, 6, 7, 8, 10, 20, 12isperp 25828 . . 3 (𝜑 → (𝐵(⟂G‘𝐺)𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝐵𝐴)∀𝑣𝐵𝑢𝐴 ⟨“𝑣𝑥𝑢”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
4441, 42, 433bitr4d 300 . 2 (𝜑 → (𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵𝐵(⟂G‘𝐺)𝐴))
451, 44mpbid 222 1 (𝜑𝐵(⟂G‘𝐺)𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061  ∃wrex 3062   ∩ cin 3722   class class class wbr 4786  ran crn 5250  ‘cfv 6031  ⟨“cs3 13796  Basecbs 16064  distcds 16158  TarskiGcstrkg 25550  Itvcitv 25556  LineGclng 25557  pInvGcmir 25768  ∟Gcrag 25809  ⟂Gcperpg 25811 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8965  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-xnn0 11566  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-hash 13322  df-word 13495  df-concat 13497  df-s1 13498  df-s2 13802  df-s3 13803  df-trkgc 25568  df-trkgb 25569  df-trkgcb 25570  df-trkg 25573  df-mir 25769  df-rag 25810  df-perpg 25812 This theorem is referenced by:  hlperpnel  25838  colperpexlem3  25845  mideulem2  25847  midex  25850  opphllem5  25864  opphllem6  25865  opphl  25867  lmieu  25897  lnperpex  25916  trgcopy  25917
 Copyright terms: Public domain W3C validator