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Theorem perfectlem2 24889
Description: Lemma for perfect 24890. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.) Replace OLD theorem. (Revised by Wolf Lammen, 17-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
perfectlem.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
perfectlem.2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
perfectlem.3 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐵)
perfectlem.4 (𝜑 → (1 σ ((2↑𝐴) · 𝐵)) = (2 · ((2↑𝐴) · 𝐵)))
Assertion
Ref Expression
perfectlem2 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℙ ∧ 𝐵 = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))

Proof of Theorem perfectlem2
Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 perfectlem.2 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
2 1red 10015 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
3 perfectlem.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
4 perfectlem.3 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐵)
5 perfectlem.4 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 σ ((2↑𝐴) · 𝐵)) = (2 · ((2↑𝐴) · 𝐵)))
63, 1, 4, 5perfectlem1 24888 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℕ ∧ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℕ))
76simp3d 1073 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℕ)
87nnred 10995 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℝ)
91nnred 10995 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
107nnge1d 11023 . . . . 5 (𝜑 → 1 ≤ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
11 2cn 11051 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
12 exp1 12822 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (2↑1) = 2
14 df-2 11039 . . . . . . . . . 10 2 = (1 + 1)
1513, 14eqtri 2643 . . . . . . . . 9 (2↑1) = (1 + 1)
16 2re 11050 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
1716a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
18 1zzd 11368 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
193peano2nnd 10997 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
2019nnzd 11441 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
21 1lt2 11154 . . . . . . . . . . 11 1 < 2
2221a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 < 2)
23 1re 9999 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
243nnrpd 11830 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
25 ltaddrp 11827 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 1 < (1 + 𝐴))
2623, 24, 25sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 < (1 + 𝐴))
27 ax-1cn 9954 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
283nncnd 10996 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
29 addcom 10182 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 + 𝐴) = (𝐴 + 1))
3027, 28, 29sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 + 𝐴) = (𝐴 + 1))
3126, 30breqtrd 4649 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 < (𝐴 + 1))
32 ltexp2a 12868 . . . . . . . . . 10 (((2 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℤ) ∧ (1 < 2 ∧ 1 < (𝐴 + 1))) → (2↑1) < (2↑(𝐴 + 1)))
3317, 18, 20, 22, 31, 32syl32anc 1331 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2↑1) < (2↑(𝐴 + 1)))
3415, 33syl5eqbrr 4659 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 + 1) < (2↑(𝐴 + 1)))
356simp1d 1071 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℕ)
3635nnred 10995 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
372, 2, 36ltaddsubd 10587 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 + 1) < (2↑(𝐴 + 1)) ↔ 1 < ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
3834, 37mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 < ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))
39 0lt1 10510 . . . . . . . . 9 0 < 1
4039a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < 1)
41 peano2rem 10308 . . . . . . . . 9 ((2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℝ → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℝ)
4236, 41syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℝ)
43 expgt1 12854 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℕ ∧ 1 < 2) → 1 < (2↑(𝐴 + 1)))
4417, 19, 22, 43syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 < (2↑(𝐴 + 1)))
45 posdif 10481 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℝ) → (1 < (2↑(𝐴 + 1)) ↔ 0 < ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
4623, 36, 45sylancr 694 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 < (2↑(𝐴 + 1)) ↔ 0 < ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
4744, 46mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))
481nngt0d 11024 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < 𝐵)
49 ltdiv2 10869 . . . . . . . 8 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (1 < ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ↔ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) < (𝐵 / 1)))
502, 40, 42, 47, 9, 48, 49syl222anc 1339 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 < ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ↔ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) < (𝐵 / 1)))
5138, 50mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) < (𝐵 / 1))
521nncnd 10996 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
5352div1d 10753 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 / 1) = 𝐵)
5451, 53breqtrd 4649 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) < 𝐵)
552, 8, 9, 10, 54lelttrd 10155 . . . 4 (𝜑 → 1 < 𝐵)
56 eluz2b2 11721 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐵))
571, 55, 56sylanbrc 697 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ (ℤ‘2))
58 fzfid 12728 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1...𝐵) ∈ Fin)
59 dvdsssfz1 14983 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵} ⊆ (1...𝐵))
601, 59syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵} ⊆ (1...𝐵))
61 ssfi 8140 . . . . . . . . . . . 12 (((1...𝐵) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵} ⊆ (1...𝐵)) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵} ∈ Fin)
6258, 60, 61syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵} ∈ Fin)
6362ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵} ∈ Fin)
64 ssrab2 3672 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵} ⊆ ℕ
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵} ⊆ ℕ)
6665sselda 3588 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}) → 𝑘 ∈ ℕ)
6766nnred 10995 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}) → 𝑘 ∈ ℝ)
6866nnnn0d 11311 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}) → 𝑘 ∈ ℕ0)
6968nn0ge0d 11314 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}) → 0 ≤ 𝑘)
70 df-tp 4160 . . . . . . . . . . . 12 {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛} = ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∪ {𝑛})
71 prssi 4328 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ⊆ ℕ)
727, 1, 71syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ⊆ ℕ)
7372ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ⊆ ℕ)
74 simplrl 799 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → 𝑛 ∈ ℕ)
7574snssd 4316 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → {𝑛} ⊆ ℕ)
7673, 75unssd 3773 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∪ {𝑛}) ⊆ ℕ)
7770, 76syl5eqss 3634 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛} ⊆ ℕ)
78 eltpi 4207 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛} → (𝑥 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑥 = 𝐵𝑥 = 𝑛))
796simp2d 1072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℕ)
8079nnzd 11441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℤ)
817nnzd 11441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℤ)
82 dvdsmul2 14947 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℤ ∧ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℤ) → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∥ (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
8380, 81, 82syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∥ (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
8479nncnd 10996 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℂ)
8579nnne0d 11025 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ≠ 0)
8652, 84, 85divcan2d 10763 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) = 𝐵)
8783, 86breqtrd 4649 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∥ 𝐵)
88 breq1 4626 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → (𝑥𝐵 ↔ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∥ 𝐵))
8987, 88syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑥 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → 𝑥𝐵))
9089ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → (𝑥 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → 𝑥𝐵))
911nnzd 11441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
92 iddvds 14938 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵𝐵)
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐵𝐵)
94 breq1 4626 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥𝐵𝐵𝐵))
9593, 94syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑥 = 𝐵𝑥𝐵))
9695ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → (𝑥 = 𝐵𝑥𝐵))
97 simplrr 800 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → 𝑛𝐵)
98 breq1 4626 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑛 → (𝑥𝐵𝑛𝐵))
9997, 98syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → (𝑥 = 𝑛𝑥𝐵))
10090, 96, 993jaod 1389 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → ((𝑥 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑥 = 𝐵𝑥 = 𝑛) → 𝑥𝐵))
10178, 100syl5 34 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → (𝑥 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛} → 𝑥𝐵))
102101imp 445 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛}) → 𝑥𝐵)
10377, 102ssrabdv 3666 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛} ⊆ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵})
10463, 67, 69, 103fsumless 14474 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛}𝑘 ≤ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}𝑘)
105 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵})
106 disjsn 4223 . . . . . . . . . . . 12 (({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∩ {𝑛}) = ∅ ↔ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵})
107105, 106sylibr 224 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∩ {𝑛}) = ∅)
10870a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛} = ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∪ {𝑛}))
109 tpfi 8196 . . . . . . . . . . . 12 {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛} ∈ Fin
110109a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛} ∈ Fin)
11177sselda 3588 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) ∧ 𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛}) → 𝑘 ∈ ℕ)
112111nncnd 10996 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) ∧ 𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛}) → 𝑘 ∈ ℂ)
113107, 108, 110, 112fsumsplit 14420 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛}𝑘 = (Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}𝑘 + Σ𝑘 ∈ {𝑛}𝑘))
1147nncnd 10996 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℂ)
115 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → 𝑘 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
116115sumsn 14424 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))}𝑘 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
1177, 114, 116syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))}𝑘 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
118 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝐵𝑘 = 𝐵)
119118sumsn 14424 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝑘 = 𝐵)
1201, 52, 119syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝑘 = 𝐵)
121117, 120oveq12d 6633 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))}𝑘 + Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝑘) = ((𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) + 𝐵))
122 incom 3789 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝐵} ∩ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))}) = ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))} ∩ {𝐵})
1238, 54gtned 10132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐵 ≠ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
124 disjsn2 4224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ≠ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → ({𝐵} ∩ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))}) = ∅)
125123, 124syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ({𝐵} ∩ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))}) = ∅)
126122, 125syl5eqr 2669 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))} ∩ {𝐵}) = ∅)
127 df-pr 4158 . . . . . . . . . . . . . . 15 {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} = ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))} ∪ {𝐵})
128127a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} = ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))} ∪ {𝐵}))
129 prfi 8195 . . . . . . . . . . . . . . 15 {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∈ Fin
130129a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∈ Fin)
13172sselda 3588 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → 𝑘 ∈ ℕ)
132131nncnd 10996 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → 𝑘 ∈ ℂ)
133126, 128, 130, 132fsumsplit 14420 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}𝑘 = (Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))}𝑘 + Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝑘))
13484, 52mulcld 10020 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵) ∈ ℂ)
13552, 134, 84, 85divdird 10799 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐵 + (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵)) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = ((𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) + ((((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
13635nncnd 10996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℂ)
137 1cnd 10016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
138136, 137, 52subdird 10447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵) = (((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) − (1 · 𝐵)))
13952mulid2d 10018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (1 · 𝐵) = 𝐵)
140139oveq2d 6631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) − (1 · 𝐵)) = (((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) − 𝐵))
141138, 140eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵) = (((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) − 𝐵))
142141oveq2d 6631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐵 + (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵)) = (𝐵 + (((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) − 𝐵)))
143136, 52mulcld 10020 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) ∈ ℂ)
14452, 143pncan3d 10355 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐵 + (((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) − 𝐵)) = ((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵))
145142, 144eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐵 + (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵)) = ((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵))
146145oveq1d 6630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐵 + (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵)) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = (((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
147136, 52, 84, 85divassd 10796 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
148146, 147eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐵 + (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵)) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
14952, 84, 85divcan3d 10766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = 𝐵)
150149oveq2d 6631 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) + ((((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) = ((𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) + 𝐵))
151135, 148, 1503eqtr3d 2663 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) = ((𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) + 𝐵))
152121, 133, 1513eqtr4d 2665 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}𝑘 = ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
153152ad2antrr 761 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}𝑘 = ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
15474nncnd 10996 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → 𝑛 ∈ ℂ)
155 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑛𝑘 = 𝑛)
156155sumsn 14424 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑛}𝑘 = 𝑛)
157154, 154, 156syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → Σ𝑘 ∈ {𝑛}𝑘 = 𝑛)
158153, 157oveq12d 6633 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → (Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}𝑘 + Σ𝑘 ∈ {𝑛}𝑘) = (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 𝑛))
159113, 158eqtrd 2655 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛}𝑘 = (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 𝑛))
1603nnnn0d 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
161 expp1 12823 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (2↑(𝐴 + 1)) = ((2↑𝐴) · 2))
16211, 160, 161sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (2↑(𝐴 + 1)) = ((2↑𝐴) · 2))
163 2nn 11145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℕ
164 nnexpcl 12829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (2↑𝐴) ∈ ℕ)
165163, 160, 164sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (2↑𝐴) ∈ ℕ)
166165nncnd 10996 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2↑𝐴) ∈ ℂ)
167 mulcom 9982 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((2↑𝐴) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((2↑𝐴) · 2) = (2 · (2↑𝐴)))
168166, 11, 167sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((2↑𝐴) · 2) = (2 · (2↑𝐴)))
169162, 168eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2↑(𝐴 + 1)) = (2 · (2↑𝐴)))
170169oveq1d 6630 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) = ((2 · (2↑𝐴)) · 𝐵))
171 2cnd 11053 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
172171, 166, 52mulassd 10023 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2 · (2↑𝐴)) · 𝐵) = (2 · ((2↑𝐴) · 𝐵)))
173 2prm 15348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℙ
174 coprm 15366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (¬ 2 ∥ 𝐵 ↔ (2 gcd 𝐵) = 1))
175173, 91, 174sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (¬ 2 ∥ 𝐵 ↔ (2 gcd 𝐵) = 1))
1764, 175mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 gcd 𝐵) = 1)
177 2z 11369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℤ
178177a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
179 rpexp1i 15376 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((2 gcd 𝐵) = 1 → ((2↑𝐴) gcd 𝐵) = 1))
180178, 91, 160, 179syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((2 gcd 𝐵) = 1 → ((2↑𝐴) gcd 𝐵) = 1))
181176, 180mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((2↑𝐴) gcd 𝐵) = 1)
182 sgmmul 24860 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℂ ∧ ((2↑𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐴) gcd 𝐵) = 1)) → (1 σ ((2↑𝐴) · 𝐵)) = ((1 σ (2↑𝐴)) · (1 σ 𝐵)))
183137, 165, 1, 181, 182syl13anc 1325 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (1 σ ((2↑𝐴) · 𝐵)) = ((1 σ (2↑𝐴)) · (1 σ 𝐵)))
184 pncan 10247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
18528, 27, 184sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
186185oveq2d 6631 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (2↑((𝐴 + 1) − 1)) = (2↑𝐴))
187186oveq2d 6631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (1 σ (2↑((𝐴 + 1) − 1))) = (1 σ (2↑𝐴)))
188 1sgm2ppw 24859 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 + 1) ∈ ℕ → (1 σ (2↑((𝐴 + 1) − 1))) = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))
18919, 188syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (1 σ (2↑((𝐴 + 1) − 1))) = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))
190187, 189eqtr3d 2657 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1 σ (2↑𝐴)) = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))
191190oveq1d 6630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((1 σ (2↑𝐴)) · (1 σ 𝐵)) = (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (1 σ 𝐵)))
192183, 5, 1913eqtr3d 2663 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2 · ((2↑𝐴) · 𝐵)) = (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (1 σ 𝐵)))
193170, 172, 1923eqtrd 2659 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) = (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (1 σ 𝐵)))
194193oveq1d 6630 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = ((((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (1 σ 𝐵)) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
195 1nn0 11268 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℕ0
196 sgmnncl 24807 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (1 σ 𝐵) ∈ ℕ)
197195, 1, 196sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1 σ 𝐵) ∈ ℕ)
198197nncnd 10996 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 σ 𝐵) ∈ ℂ)
199198, 84, 85divcan3d 10766 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (1 σ 𝐵)) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = (1 σ 𝐵))
200194, 147, 1993eqtr3d 2663 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) = (1 σ 𝐵))
201 sgmval 24802 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 σ 𝐵) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵} (𝑘𝑐1))
20227, 1, 201sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 σ 𝐵) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵} (𝑘𝑐1))
203 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}) → 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵})
20464, 203sseldi 3586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}) → 𝑘 ∈ ℕ)
205204nncnd 10996 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}) → 𝑘 ∈ ℂ)
206205cxp1d 24386 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}) → (𝑘𝑐1) = 𝑘)
207206sumeq2dv 14383 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵} (𝑘𝑐1) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}𝑘)
208200, 202, 2073eqtrrd 2660 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}𝑘 = ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
209208ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}𝑘 = ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
210104, 159, 2093brtr3d 4654 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 𝑛) ≤ ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
21136, 8remulcld 10030 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) ∈ ℝ)
212211ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) ∈ ℝ)
21374nnrpd 11830 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → 𝑛 ∈ ℝ+)
214212, 213ltaddrpd 11865 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) < (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 𝑛))
21574nnred 10995 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → 𝑛 ∈ ℝ)
216212, 215readdcld 10029 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 𝑛) ∈ ℝ)
217212, 216ltnled 10144 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) < (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 𝑛) ↔ ¬ (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 𝑛) ≤ ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))))
218214, 217mpbid 222 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → ¬ (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 𝑛) ≤ ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
219210, 218condan 834 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) → 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵})
220 elpri 4175 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} → (𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑛 = 𝐵))
221219, 220syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) → (𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑛 = 𝐵))
222221expr 642 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛𝐵 → (𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑛 = 𝐵)))
223222ralrimiva 2962 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛𝐵 → (𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑛 = 𝐵)))
2242, 55gtned 10132 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ≠ 1)
225224necomd 2845 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ≠ 𝐵)
226 1nn 10991 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℕ
227226a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
228 1dvds 14939 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝐵)
22991, 228syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∥ 𝐵)
230 breq1 4626 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 1 → (𝑛𝐵 ↔ 1 ∥ 𝐵))
231 eqeq1 2625 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 1 → (𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ↔ 1 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
232 eqeq1 2625 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 1 → (𝑛 = 𝐵 ↔ 1 = 𝐵))
233231, 232orbi12d 745 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 1 → ((𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑛 = 𝐵) ↔ (1 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 1 = 𝐵)))
234230, 233imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 → ((𝑛𝐵 → (𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑛 = 𝐵)) ↔ (1 ∥ 𝐵 → (1 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 1 = 𝐵))))
235234rspcv 3295 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℕ → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛𝐵 → (𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑛 = 𝐵)) → (1 ∥ 𝐵 → (1 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 1 = 𝐵))))
236227, 223, 229, 235syl3c 66 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 1 = 𝐵))
237236ord 392 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (¬ 1 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → 1 = 𝐵))
238237necon1ad 2807 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 ≠ 𝐵 → 1 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
239225, 238mpd 15 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
240239eqeq2d 2631 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑛 = 1 ↔ 𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
241240orbi1d 738 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 𝐵) ↔ (𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑛 = 𝐵)))
242241imbi2d 330 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑛𝐵 → (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 𝐵)) ↔ (𝑛𝐵 → (𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑛 = 𝐵))))
243242ralbidv 2982 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛𝐵 → (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 𝐵)) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛𝐵 → (𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑛 = 𝐵))))
244223, 243mpbird 247 . . 3 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛𝐵 → (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 𝐵)))
245 isprm2 15338 . . 3 (𝐵 ∈ ℙ ↔ (𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛𝐵 → (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 𝐵))))
24657, 244, 245sylanbrc 697 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℙ)
247211ltp1d 10914 . . . 4 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) < (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1))
248 peano2re 10169 . . . . . 6 (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) ∈ ℝ → (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1) ∈ ℝ)
249211, 248syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1) ∈ ℝ)
250211, 249ltnled 10144 . . . 4 (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) < (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1) ↔ ¬ (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1) ≤ ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))))
251247, 250mpbid 222 . . 3 (𝜑 → ¬ (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1) ≤ ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
252204nnred 10995 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}) → 𝑘 ∈ ℝ)
253204nnnn0d 11311 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}) → 𝑘 ∈ ℕ0)
254253nn0ge0d 11314 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}) → 0 ≤ 𝑘)
255 df-tp 4160 . . . . . . . . . 10 {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1} = ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∪ {1})
256 snssi 4315 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℕ → {1} ⊆ ℕ)
257226, 256mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {1} ⊆ ℕ)
25872, 257unssd 3773 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∪ {1}) ⊆ ℕ)
259255, 258syl5eqss 3634 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1} ⊆ ℕ)
260 eltpi 4207 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1} → (𝑥 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑥 = 𝐵𝑥 = 1))
261 breq1 4626 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 1 → (𝑥𝐵 ↔ 1 ∥ 𝐵))
262229, 261syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 = 1 → 𝑥𝐵))
26389, 95, 2623jaod 1389 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑥 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑥 = 𝐵𝑥 = 1) → 𝑥𝐵))
264260, 263syl5 34 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1} → 𝑥𝐵))
265264imp 445 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1}) → 𝑥𝐵)
266259, 265ssrabdv 3666 . . . . . . . 8 (𝜑 → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1} ⊆ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵})
26762, 252, 254, 266fsumless 14474 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1}𝑘 ≤ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}𝑘)
268267adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1}𝑘 ≤ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}𝑘)
26952, 84, 85diveq1ad 10770 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = 1 ↔ 𝐵 = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
270269necon3bid 2834 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ≠ 1 ↔ 𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
271270biimpar 502 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ≠ 1)
272271necomd 2845 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → 1 ≠ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
273225adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → 1 ≠ 𝐵)
274272, 273nelprd 4181 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → ¬ 1 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵})
275 disjsn 4223 . . . . . . . . 9 (({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∩ {1}) = ∅ ↔ ¬ 1 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵})
276274, 275sylibr 224 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∩ {1}) = ∅)
277255a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1} = ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∪ {1}))
278 tpfi 8196 . . . . . . . . 9 {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1} ∈ Fin
279278a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1} ∈ Fin)
280259adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1} ⊆ ℕ)
281280sselda 3588 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∧ 𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1}) → 𝑘 ∈ ℕ)
282281nncnd 10996 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∧ 𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1}) → 𝑘 ∈ ℂ)
283276, 277, 279, 282fsumsplit 14420 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1}𝑘 = (Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}𝑘 + Σ𝑘 ∈ {1}𝑘))
284 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 1 → 𝑘 = 1)
285284sumsn 14424 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {1}𝑘 = 1)
2862, 27, 285sylancl 693 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {1}𝑘 = 1)
287152, 286oveq12d 6633 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}𝑘 + Σ𝑘 ∈ {1}𝑘) = (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1))
288287adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → (Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}𝑘 + Σ𝑘 ∈ {1}𝑘) = (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1))
289283, 288eqtrd 2655 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1}𝑘 = (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1))
290208adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}𝑘 = ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
291268, 289, 2903brtr3d 4654 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1) ≤ ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
292291ex 450 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) → (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1) ≤ ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))))
293292necon1bd 2808 . . 3 (𝜑 → (¬ (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1) ≤ ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) → 𝐵 = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
294251, 293mpd 15 . 2 (𝜑𝐵 = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))
295246, 294jca 554 1 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℙ ∧ 𝐵 = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3o 1035   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2908  {crab 2912  cun 3558  cin 3559  wss 3560  c0 3897  {csn 4155  {cpr 4157  {ctp 4159   class class class wbr 4623  cfv 5857  (class class class)co 6615  Fincfn 7915  cc 9894  cr 9895  0cc0 9896  1c1 9897   + caddc 9899   · cmul 9901   < clt 10034  cle 10035  cmin 10226   / cdiv 10644  cn 10980  2c2 11030  0cn0 11252  cz 11337  cuz 11647  +crp 11792  ...cfz 12284  cexp 12816  Σcsu 14366  cdvds 14926   gcd cgcd 15159  cprime 15328  𝑐ccxp 24240   σ csgm 24756
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974  ax-addf 9975  ax-mulf 9976
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-supp 7256  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-pm 7820  df-ixp 7869  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fsupp 8236  df-fi 8277  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-xneg 11906  df-xadd 11907  df-xmul 11908  df-ioo 12137  df-ioc 12138  df-ico 12139  df-icc 12140  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-fl 12549  df-mod 12625  df-seq 12758  df-exp 12817  df-fac 13017  df-bc 13046  df-hash 13074  df-shft 13757  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-limsup 14152  df-clim 14169  df-rlim 14170  df-sum 14367  df-ef 14742  df-sin 14744  df-cos 14745  df-pi 14747  df-dvds 14927  df-gcd 15160  df-prm 15329  df-pc 15485  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-starv 15896  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-ip 15899  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-unif 15905  df-hom 15906  df-cco 15907  df-rest 16023  df-topn 16024  df-0g 16042  df-gsum 16043  df-topgen 16044  df-pt 16045  df-prds 16048  df-xrs 16102  df-qtop 16107  df-imas 16108  df-xps 16110  df-mre 16186  df-mrc 16187  df-acs 16189  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-submnd 17276  df-mulg 17481  df-cntz 17690  df-cmn 18135  df-psmet 19678  df-xmet 19679  df-met 19680  df-bl 19681  df-mopn 19682  df-fbas 19683  df-fg 19684  df-cnfld 19687  df-top 20639  df-topon 20656  df-topsp 20677  df-bases 20690  df-cld 20763  df-ntr 20764  df-cls 20765  df-nei 20842  df-lp 20880  df-perf 20881  df-cn 20971  df-cnp 20972  df-haus 21059  df-tx 21305  df-hmeo 21498  df-fil 21590  df-fm 21682  df-flim 21683  df-flf 21684  df-xms 22065  df-ms 22066  df-tms 22067  df-cncf 22621  df-limc 23570  df-dv 23571  df-log 24241  df-cxp 24242  df-sgm 24762
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