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Theorem perfectlem2 25154
Description: Lemma for perfect 25155. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.) Replace OLD theorem. (Revised by Wolf Lammen, 17-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
perfectlem.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
perfectlem.2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
perfectlem.3 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐵)
perfectlem.4 (𝜑 → (1 σ ((2↑𝐴) · 𝐵)) = (2 · ((2↑𝐴) · 𝐵)))
Assertion
Ref Expression
perfectlem2 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℙ ∧ 𝐵 = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))

Proof of Theorem perfectlem2
Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 perfectlem.2 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
2 1red 10247 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
3 perfectlem.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
4 perfectlem.3 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐵)
5 perfectlem.4 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 σ ((2↑𝐴) · 𝐵)) = (2 · ((2↑𝐴) · 𝐵)))
63, 1, 4, 5perfectlem1 25153 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℕ ∧ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℕ))
76simp3d 1139 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℕ)
87nnred 11227 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℝ)
91nnred 11227 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
107nnge1d 11255 . . . . 5 (𝜑 → 1 ≤ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
11 2cn 11283 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
12 exp1 13060 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (2↑1) = 2
14 df-2 11271 . . . . . . . . . 10 2 = (1 + 1)
1513, 14eqtri 2782 . . . . . . . . 9 (2↑1) = (1 + 1)
16 2re 11282 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
1716a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
18 1zzd 11600 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
193peano2nnd 11229 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
2019nnzd 11673 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
21 1lt2 11386 . . . . . . . . . . 11 1 < 2
2221a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 < 2)
23 1re 10231 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
243nnrpd 12063 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
25 ltaddrp 12060 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 1 < (1 + 𝐴))
2623, 24, 25sylancr 698 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 < (1 + 𝐴))
27 ax-1cn 10186 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
283nncnd 11228 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
29 addcom 10414 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 + 𝐴) = (𝐴 + 1))
3027, 28, 29sylancr 698 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 + 𝐴) = (𝐴 + 1))
3126, 30breqtrd 4830 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 < (𝐴 + 1))
32 ltexp2a 13106 . . . . . . . . . 10 (((2 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℤ) ∧ (1 < 2 ∧ 1 < (𝐴 + 1))) → (2↑1) < (2↑(𝐴 + 1)))
3317, 18, 20, 22, 31, 32syl32anc 1485 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2↑1) < (2↑(𝐴 + 1)))
3415, 33syl5eqbrr 4840 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 + 1) < (2↑(𝐴 + 1)))
356simp1d 1137 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℕ)
3635nnred 11227 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
372, 2, 36ltaddsubd 10819 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 + 1) < (2↑(𝐴 + 1)) ↔ 1 < ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
3834, 37mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 < ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))
39 0lt1 10742 . . . . . . . . 9 0 < 1
4039a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < 1)
41 peano2rem 10540 . . . . . . . . 9 ((2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℝ → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℝ)
4236, 41syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℝ)
43 expgt1 13092 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℕ ∧ 1 < 2) → 1 < (2↑(𝐴 + 1)))
4417, 19, 22, 43syl3anc 1477 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 < (2↑(𝐴 + 1)))
45 posdif 10713 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℝ) → (1 < (2↑(𝐴 + 1)) ↔ 0 < ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
4623, 36, 45sylancr 698 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 < (2↑(𝐴 + 1)) ↔ 0 < ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
4744, 46mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))
481nngt0d 11256 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < 𝐵)
49 ltdiv2 11101 . . . . . . . 8 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (1 < ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ↔ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) < (𝐵 / 1)))
502, 40, 42, 47, 9, 48, 49syl222anc 1493 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 < ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ↔ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) < (𝐵 / 1)))
5138, 50mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) < (𝐵 / 1))
521nncnd 11228 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
5352div1d 10985 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 / 1) = 𝐵)
5451, 53breqtrd 4830 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) < 𝐵)
552, 8, 9, 10, 54lelttrd 10387 . . . 4 (𝜑 → 1 < 𝐵)
56 eluz2b2 11954 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐵))
571, 55, 56sylanbrc 701 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ (ℤ‘2))
58 fzfid 12966 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1...𝐵) ∈ Fin)
59 dvdsssfz1 15242 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵} ⊆ (1...𝐵))
601, 59syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵} ⊆ (1...𝐵))
61 ssfi 8345 . . . . . . . . . . . 12 (((1...𝐵) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵} ⊆ (1...𝐵)) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵} ∈ Fin)
6258, 60, 61syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵} ∈ Fin)
6362ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵} ∈ Fin)
64 ssrab2 3828 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵} ⊆ ℕ
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵} ⊆ ℕ)
6665sselda 3744 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}) → 𝑘 ∈ ℕ)
6766nnred 11227 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}) → 𝑘 ∈ ℝ)
6866nnnn0d 11543 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}) → 𝑘 ∈ ℕ0)
6968nn0ge0d 11546 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}) → 0 ≤ 𝑘)
70 df-tp 4326 . . . . . . . . . . . 12 {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛} = ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∪ {𝑛})
71 prssi 4498 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ⊆ ℕ)
727, 1, 71syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ⊆ ℕ)
7372ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ⊆ ℕ)
74 simplrl 819 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → 𝑛 ∈ ℕ)
7574snssd 4485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → {𝑛} ⊆ ℕ)
7673, 75unssd 3932 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∪ {𝑛}) ⊆ ℕ)
7770, 76syl5eqss 3790 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛} ⊆ ℕ)
78 eltpi 4373 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛} → (𝑥 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑥 = 𝐵𝑥 = 𝑛))
796simp2d 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℕ)
8079nnzd 11673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℤ)
817nnzd 11673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℤ)
82 dvdsmul2 15206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℤ ∧ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℤ) → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∥ (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
8380, 81, 82syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∥ (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
8479nncnd 11228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℂ)
8579nnne0d 11257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ≠ 0)
8652, 84, 85divcan2d 10995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) = 𝐵)
8783, 86breqtrd 4830 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∥ 𝐵)
88 breq1 4807 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → (𝑥𝐵 ↔ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∥ 𝐵))
8987, 88syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑥 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → 𝑥𝐵))
9089ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → (𝑥 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → 𝑥𝐵))
911nnzd 11673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
92 iddvds 15197 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵𝐵)
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐵𝐵)
94 breq1 4807 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥𝐵𝐵𝐵))
9593, 94syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑥 = 𝐵𝑥𝐵))
9695ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → (𝑥 = 𝐵𝑥𝐵))
97 simplrr 820 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → 𝑛𝐵)
98 breq1 4807 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑛 → (𝑥𝐵𝑛𝐵))
9997, 98syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → (𝑥 = 𝑛𝑥𝐵))
10090, 96, 993jaod 1541 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → ((𝑥 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑥 = 𝐵𝑥 = 𝑛) → 𝑥𝐵))
10178, 100syl5 34 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → (𝑥 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛} → 𝑥𝐵))
102101imp 444 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛}) → 𝑥𝐵)
10377, 102ssrabdv 3822 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛} ⊆ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵})
10463, 67, 69, 103fsumless 14727 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛}𝑘 ≤ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}𝑘)
105 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵})
106 disjsn 4390 . . . . . . . . . . . 12 (({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∩ {𝑛}) = ∅ ↔ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵})
107105, 106sylibr 224 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∩ {𝑛}) = ∅)
10870a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛} = ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∪ {𝑛}))
109 tpfi 8401 . . . . . . . . . . . 12 {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛} ∈ Fin
110109a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛} ∈ Fin)
11177sselda 3744 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) ∧ 𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛}) → 𝑘 ∈ ℕ)
112111nncnd 11228 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) ∧ 𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛}) → 𝑘 ∈ ℂ)
113107, 108, 110, 112fsumsplit 14670 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛}𝑘 = (Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}𝑘 + Σ𝑘 ∈ {𝑛}𝑘))
1147nncnd 11228 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℂ)
115 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → 𝑘 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
116115sumsn 14674 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))}𝑘 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
1177, 114, 116syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))}𝑘 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
118 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝐵𝑘 = 𝐵)
119118sumsn 14674 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝑘 = 𝐵)
1201, 52, 119syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝑘 = 𝐵)
121117, 120oveq12d 6831 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))}𝑘 + Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝑘) = ((𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) + 𝐵))
122 incom 3948 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝐵} ∩ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))}) = ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))} ∩ {𝐵})
1238, 54gtned 10364 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐵 ≠ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
124 disjsn2 4391 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ≠ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → ({𝐵} ∩ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))}) = ∅)
125123, 124syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ({𝐵} ∩ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))}) = ∅)
126122, 125syl5eqr 2808 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))} ∩ {𝐵}) = ∅)
127 df-pr 4324 . . . . . . . . . . . . . . 15 {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} = ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))} ∪ {𝐵})
128127a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} = ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))} ∪ {𝐵}))
129 prfi 8400 . . . . . . . . . . . . . . 15 {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∈ Fin
130129a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∈ Fin)
13172sselda 3744 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → 𝑘 ∈ ℕ)
132131nncnd 11228 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → 𝑘 ∈ ℂ)
133126, 128, 130, 132fsumsplit 14670 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}𝑘 = (Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))}𝑘 + Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝑘))
13484, 52mulcld 10252 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵) ∈ ℂ)
13552, 134, 84, 85divdird 11031 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐵 + (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵)) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = ((𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) + ((((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
13635nncnd 11228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℂ)
137 1cnd 10248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
138136, 137, 52subdird 10679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵) = (((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) − (1 · 𝐵)))
13952mulid2d 10250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (1 · 𝐵) = 𝐵)
140139oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) − (1 · 𝐵)) = (((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) − 𝐵))
141138, 140eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵) = (((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) − 𝐵))
142141oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐵 + (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵)) = (𝐵 + (((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) − 𝐵)))
143136, 52mulcld 10252 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) ∈ ℂ)
14452, 143pncan3d 10587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐵 + (((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) − 𝐵)) = ((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵))
145142, 144eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐵 + (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵)) = ((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵))
146145oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐵 + (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵)) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = (((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
147136, 52, 84, 85divassd 11028 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
148146, 147eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐵 + (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵)) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
14952, 84, 85divcan3d 10998 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = 𝐵)
150149oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) + ((((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) = ((𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) + 𝐵))
151135, 148, 1503eqtr3d 2802 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) = ((𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) + 𝐵))
152121, 133, 1513eqtr4d 2804 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}𝑘 = ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
153152ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}𝑘 = ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
15474nncnd 11228 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → 𝑛 ∈ ℂ)
155 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑛𝑘 = 𝑛)
156155sumsn 14674 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑛}𝑘 = 𝑛)
157154, 154, 156syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → Σ𝑘 ∈ {𝑛}𝑘 = 𝑛)
158153, 157oveq12d 6831 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → (Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}𝑘 + Σ𝑘 ∈ {𝑛}𝑘) = (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 𝑛))
159113, 158eqtrd 2794 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛}𝑘 = (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 𝑛))
1603nnnn0d 11543 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
161 expp1 13061 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (2↑(𝐴 + 1)) = ((2↑𝐴) · 2))
16211, 160, 161sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (2↑(𝐴 + 1)) = ((2↑𝐴) · 2))
163 2nn 11377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℕ
164 nnexpcl 13067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (2↑𝐴) ∈ ℕ)
165163, 160, 164sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (2↑𝐴) ∈ ℕ)
166165nncnd 11228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2↑𝐴) ∈ ℂ)
167 mulcom 10214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((2↑𝐴) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((2↑𝐴) · 2) = (2 · (2↑𝐴)))
168166, 11, 167sylancl 697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((2↑𝐴) · 2) = (2 · (2↑𝐴)))
169162, 168eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2↑(𝐴 + 1)) = (2 · (2↑𝐴)))
170169oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) = ((2 · (2↑𝐴)) · 𝐵))
171 2cnd 11285 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
172171, 166, 52mulassd 10255 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2 · (2↑𝐴)) · 𝐵) = (2 · ((2↑𝐴) · 𝐵)))
173 2prm 15607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℙ
174 coprm 15625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (¬ 2 ∥ 𝐵 ↔ (2 gcd 𝐵) = 1))
175173, 91, 174sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (¬ 2 ∥ 𝐵 ↔ (2 gcd 𝐵) = 1))
1764, 175mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 gcd 𝐵) = 1)
177 2z 11601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℤ
178177a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
179 rpexp1i 15635 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((2 gcd 𝐵) = 1 → ((2↑𝐴) gcd 𝐵) = 1))
180178, 91, 160, 179syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((2 gcd 𝐵) = 1 → ((2↑𝐴) gcd 𝐵) = 1))
181176, 180mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((2↑𝐴) gcd 𝐵) = 1)
182 sgmmul 25125 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℂ ∧ ((2↑𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐴) gcd 𝐵) = 1)) → (1 σ ((2↑𝐴) · 𝐵)) = ((1 σ (2↑𝐴)) · (1 σ 𝐵)))
183137, 165, 1, 181, 182syl13anc 1479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (1 σ ((2↑𝐴) · 𝐵)) = ((1 σ (2↑𝐴)) · (1 σ 𝐵)))
184 pncan 10479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
18528, 27, 184sylancl 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
186185oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (2↑((𝐴 + 1) − 1)) = (2↑𝐴))
187186oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (1 σ (2↑((𝐴 + 1) − 1))) = (1 σ (2↑𝐴)))
188 1sgm2ppw 25124 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 + 1) ∈ ℕ → (1 σ (2↑((𝐴 + 1) − 1))) = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))
18919, 188syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (1 σ (2↑((𝐴 + 1) − 1))) = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))
190187, 189eqtr3d 2796 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1 σ (2↑𝐴)) = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))
191190oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((1 σ (2↑𝐴)) · (1 σ 𝐵)) = (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (1 σ 𝐵)))
192183, 5, 1913eqtr3d 2802 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2 · ((2↑𝐴) · 𝐵)) = (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (1 σ 𝐵)))
193170, 172, 1923eqtrd 2798 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) = (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (1 σ 𝐵)))
194193oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = ((((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (1 σ 𝐵)) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
195 1nn0 11500 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℕ0
196 sgmnncl 25072 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (1 σ 𝐵) ∈ ℕ)
197195, 1, 196sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1 σ 𝐵) ∈ ℕ)
198197nncnd 11228 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 σ 𝐵) ∈ ℂ)
199198, 84, 85divcan3d 10998 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (1 σ 𝐵)) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = (1 σ 𝐵))
200194, 147, 1993eqtr3d 2802 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) = (1 σ 𝐵))
201 sgmval 25067 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 σ 𝐵) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵} (𝑘𝑐1))
20227, 1, 201sylancr 698 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 σ 𝐵) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵} (𝑘𝑐1))
203 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}) → 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵})
20464, 203sseldi 3742 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}) → 𝑘 ∈ ℕ)
205204nncnd 11228 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}) → 𝑘 ∈ ℂ)
206205cxp1d 24651 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}) → (𝑘𝑐1) = 𝑘)
207206sumeq2dv 14632 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵} (𝑘𝑐1) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}𝑘)
208200, 202, 2073eqtrrd 2799 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}𝑘 = ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
209208ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}𝑘 = ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
210104, 159, 2093brtr3d 4835 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 𝑛) ≤ ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
21136, 8remulcld 10262 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) ∈ ℝ)
212211ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) ∈ ℝ)
21374nnrpd 12063 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → 𝑛 ∈ ℝ+)
214212, 213ltaddrpd 12098 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) < (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 𝑛))
21574nnred 11227 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → 𝑛 ∈ ℝ)
216212, 215readdcld 10261 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 𝑛) ∈ ℝ)
217212, 216ltnled 10376 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) < (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 𝑛) ↔ ¬ (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 𝑛) ≤ ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))))
218214, 217mpbid 222 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → ¬ (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 𝑛) ≤ ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
219210, 218condan 870 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) → 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵})
220 elpri 4342 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} → (𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑛 = 𝐵))
221219, 220syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝐵)) → (𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑛 = 𝐵))
222221expr 644 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛𝐵 → (𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑛 = 𝐵)))
223222ralrimiva 3104 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛𝐵 → (𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑛 = 𝐵)))
2242, 55gtned 10364 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ≠ 1)
225224necomd 2987 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ≠ 𝐵)
226 1dvds 15198 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝐵)
22791, 226syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∥ 𝐵)
228 breq1 4807 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 1 → (𝑛𝐵 ↔ 1 ∥ 𝐵))
229 eqeq1 2764 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 1 → (𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ↔ 1 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
230 eqeq1 2764 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 1 → (𝑛 = 𝐵 ↔ 1 = 𝐵))
231229, 230orbi12d 748 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 1 → ((𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑛 = 𝐵) ↔ (1 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 1 = 𝐵)))
232228, 231imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 → ((𝑛𝐵 → (𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑛 = 𝐵)) ↔ (1 ∥ 𝐵 → (1 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 1 = 𝐵))))
233 1nn 11223 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℕ
234233a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
235232, 223, 234rspcdva 3455 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 ∥ 𝐵 → (1 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 1 = 𝐵)))
236227, 235mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 1 = 𝐵))
237236ord 391 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (¬ 1 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → 1 = 𝐵))
238237necon1ad 2949 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 ≠ 𝐵 → 1 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
239225, 238mpd 15 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
240239eqeq2d 2770 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑛 = 1 ↔ 𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
241240orbi1d 741 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 𝐵) ↔ (𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑛 = 𝐵)))
242241imbi2d 329 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑛𝐵 → (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 𝐵)) ↔ (𝑛𝐵 → (𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑛 = 𝐵))))
243242ralbidv 3124 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛𝐵 → (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 𝐵)) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛𝐵 → (𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑛 = 𝐵))))
244223, 243mpbird 247 . . 3 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛𝐵 → (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 𝐵)))
245 isprm2 15597 . . 3 (𝐵 ∈ ℙ ↔ (𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛𝐵 → (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 𝐵))))
24657, 244, 245sylanbrc 701 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℙ)
247211ltp1d 11146 . . . 4 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) < (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1))
248 peano2re 10401 . . . . . 6 (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) ∈ ℝ → (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1) ∈ ℝ)
249211, 248syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1) ∈ ℝ)
250211, 249ltnled 10376 . . . 4 (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) < (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1) ↔ ¬ (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1) ≤ ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))))
251247, 250mpbid 222 . . 3 (𝜑 → ¬ (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1) ≤ ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
252204nnred 11227 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}) → 𝑘 ∈ ℝ)
253204nnnn0d 11543 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}) → 𝑘 ∈ ℕ0)
254253nn0ge0d 11546 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}) → 0 ≤ 𝑘)
255 df-tp 4326 . . . . . . . . . 10 {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1} = ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∪ {1})
256 snssi 4484 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℕ → {1} ⊆ ℕ)
257233, 256mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {1} ⊆ ℕ)
25872, 257unssd 3932 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∪ {1}) ⊆ ℕ)
259255, 258syl5eqss 3790 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1} ⊆ ℕ)
260 eltpi 4373 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1} → (𝑥 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑥 = 𝐵𝑥 = 1))
261 breq1 4807 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 1 → (𝑥𝐵 ↔ 1 ∥ 𝐵))
262227, 261syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 = 1 → 𝑥𝐵))
26389, 95, 2623jaod 1541 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑥 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑥 = 𝐵𝑥 = 1) → 𝑥𝐵))
264260, 263syl5 34 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1} → 𝑥𝐵))
265264imp 444 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1}) → 𝑥𝐵)
266259, 265ssrabdv 3822 . . . . . . . 8 (𝜑 → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1} ⊆ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵})
26762, 252, 254, 266fsumless 14727 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1}𝑘 ≤ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}𝑘)
268267adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1}𝑘 ≤ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}𝑘)
26952, 84, 85diveq1ad 11002 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = 1 ↔ 𝐵 = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
270269necon3bid 2976 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ≠ 1 ↔ 𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
271270biimpar 503 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ≠ 1)
272271necomd 2987 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → 1 ≠ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
273225adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → 1 ≠ 𝐵)
274272, 273nelprd 4348 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → ¬ 1 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵})
275 disjsn 4390 . . . . . . . . 9 (({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∩ {1}) = ∅ ↔ ¬ 1 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵})
276274, 275sylibr 224 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∩ {1}) = ∅)
277255a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1} = ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∪ {1}))
278 tpfi 8401 . . . . . . . . 9 {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1} ∈ Fin
279278a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1} ∈ Fin)
280259adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1} ⊆ ℕ)
281280sselda 3744 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∧ 𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1}) → 𝑘 ∈ ℕ)
282281nncnd 11228 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∧ 𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1}) → 𝑘 ∈ ℂ)
283276, 277, 279, 282fsumsplit 14670 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1}𝑘 = (Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}𝑘 + Σ𝑘 ∈ {1}𝑘))
284 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 1 → 𝑘 = 1)
285284sumsn 14674 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {1}𝑘 = 1)
2862, 27, 285sylancl 697 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {1}𝑘 = 1)
287152, 286oveq12d 6831 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}𝑘 + Σ𝑘 ∈ {1}𝑘) = (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1))
288287adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → (Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}𝑘 + Σ𝑘 ∈ {1}𝑘) = (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1))
289283, 288eqtrd 2794 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1}𝑘 = (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1))
290208adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐵}𝑘 = ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
291268, 289, 2903brtr3d 4835 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1) ≤ ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
292291ex 449 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) → (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1) ≤ ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))))
293292necon1bd 2950 . . 3 (𝜑 → (¬ (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1) ≤ ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) → 𝐵 = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
294251, 293mpd 15 . 2 (𝜑𝐵 = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))
295246, 294jca 555 1 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℙ ∧ 𝐵 = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3o 1071   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  {crab 3054  cun 3713  cin 3714  wss 3715  c0 4058  {csn 4321  {cpr 4323  {ctp 4325   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6813  Fincfn 8121  cc 10126  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133   < clt 10266  cle 10267  cmin 10458   / cdiv 10876  cn 11212  2c2 11262  0cn0 11484  cz 11569  cuz 11879  +crp 12025  ...cfz 12519  cexp 13054  Σcsu 14615  cdvds 15182   gcd cgcd 15418  cprime 15587  𝑐ccxp 24501   σ csgm 25021
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-ioc 12373  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-fac 13255  df-bc 13284  df-hash 13312  df-shft 14006  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-limsup 14401  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-sum 14616  df-ef 14997  df-sin 14999  df-cos 15000  df-pi 15002  df-dvds 15183  df-gcd 15419  df-prm 15588  df-pc 15744  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-pt 16307  df-prds 16310  df-xrs 16364  df-qtop 16369  df-imas 16370  df-xps 16372  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cld 21025  df-ntr 21026  df-cls 21027  df-nei 21104  df-lp 21142  df-perf 21143  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-haus 21321  df-tx 21567  df-hmeo 21760  df-fil 21851  df-fm 21943  df-flim 21944  df-flf 21945  df-xms 22326  df-ms 22327  df-tms 22328  df-cncf 22882  df-limc 23829  df-dv 23830  df-log 24502  df-cxp 24503  df-sgm 25027
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