Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  perfectALTV Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem perfectALTV 42142
Description: The Euclid-Euler theorem, or Perfect Number theorem. A positive even integer 𝑁 is a perfect number (that is, its divisor sum is 2𝑁) if and only if it is of the form 2↑(𝑝 − 1) · (2↑𝑝 − 1), where 2↑𝑝 − 1 is prime (a Mersenne prime). (It follows from this that 𝑝 is also prime.) This is Metamath 100 proof #70. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.) (Revised by AV, 1-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
perfectALTV ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁) ↔ ∃𝑝 ∈ ℤ (((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1)))))
Distinct variable group:   𝑁,𝑝

Proof of Theorem perfectALTV
StepHypRef Expression
1 2dvdseven 42076 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ Even → 2 ∥ 𝑁)
21ad2antlr 765 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → 2 ∥ 𝑁)
3 2prm 15607 . . . . . . . 8 2 ∈ ℙ
4 simpll 807 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
5 pcelnn 15776 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ 2 ∥ 𝑁))
63, 4, 5sylancr 698 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → ((2 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ 2 ∥ 𝑁))
72, 6mpbird 247 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (2 pCnt 𝑁) ∈ ℕ)
87nnzd 11673 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (2 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)
98peano2zd 11677 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → ((2 pCnt 𝑁) + 1) ∈ ℤ)
10 pcdvds 15770 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2↑(2 pCnt 𝑁)) ∥ 𝑁)
113, 4, 10sylancr 698 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (2↑(2 pCnt 𝑁)) ∥ 𝑁)
12 2nn 11377 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ
137nnnn0d 11543 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (2 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
14 nnexpcl 13067 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℕ ∧ (2 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0) → (2↑(2 pCnt 𝑁)) ∈ ℕ)
1512, 13, 14sylancr 698 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (2↑(2 pCnt 𝑁)) ∈ ℕ)
16 nndivdvds 15191 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (2↑(2 pCnt 𝑁)) ∈ ℕ) → ((2↑(2 pCnt 𝑁)) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))) ∈ ℕ))
174, 15, 16syl2anc 696 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → ((2↑(2 pCnt 𝑁)) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))) ∈ ℕ))
1811, 17mpbid 222 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))) ∈ ℕ)
1918nnzd 11673 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))) ∈ ℤ)
20 pcndvds2 15774 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ 2 ∥ (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))))
213, 4, 20sylancr 698 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → ¬ 2 ∥ (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))))
22 isodd3 42075 . . . . . . . 8 ((𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))) ∈ Odd ↔ ((𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))) ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁)))))
2319, 21, 22sylanbrc 701 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))) ∈ Odd )
24 simpr 479 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁))
25 nncn 11220 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
2625ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
2715nncnd 11228 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (2↑(2 pCnt 𝑁)) ∈ ℂ)
2815nnne0d 11257 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (2↑(2 pCnt 𝑁)) ≠ 0)
2926, 27, 28divcan2d 10995 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → ((2↑(2 pCnt 𝑁)) · (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁)))) = 𝑁)
3029oveq2d 6829 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (1 σ ((2↑(2 pCnt 𝑁)) · (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))))) = (1 σ 𝑁))
3129oveq2d 6829 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (2 · ((2↑(2 pCnt 𝑁)) · (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))))) = (2 · 𝑁))
3224, 30, 313eqtr4d 2804 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (1 σ ((2↑(2 pCnt 𝑁)) · (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))))) = (2 · ((2↑(2 pCnt 𝑁)) · (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))))))
337, 18, 23, 32perfectALTVlem2 42141 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → ((𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))) ∈ ℙ ∧ (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))) = ((2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)) − 1)))
3433simprd 482 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))) = ((2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)) − 1))
3533simpld 477 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))) ∈ ℙ)
3634, 35eqeltrrd 2840 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → ((2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)) − 1) ∈ ℙ)
377nncnd 11228 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (2 pCnt 𝑁) ∈ ℂ)
38 ax-1cn 10186 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
39 pncan 10479 . . . . . . . . 9 (((2 pCnt 𝑁) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 pCnt 𝑁) + 1) − 1) = (2 pCnt 𝑁))
4037, 38, 39sylancl 697 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (((2 pCnt 𝑁) + 1) − 1) = (2 pCnt 𝑁))
4140eqcomd 2766 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (2 pCnt 𝑁) = (((2 pCnt 𝑁) + 1) − 1))
4241oveq2d 6829 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (2↑(2 pCnt 𝑁)) = (2↑(((2 pCnt 𝑁) + 1) − 1)))
4342, 34oveq12d 6831 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → ((2↑(2 pCnt 𝑁)) · (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁)))) = ((2↑(((2 pCnt 𝑁) + 1) − 1)) · ((2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)) − 1)))
4429, 43eqtr3d 2796 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → 𝑁 = ((2↑(((2 pCnt 𝑁) + 1) − 1)) · ((2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)) − 1)))
45 oveq2 6821 . . . . . . . 8 (𝑝 = ((2 pCnt 𝑁) + 1) → (2↑𝑝) = (2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)))
4645oveq1d 6828 . . . . . . 7 (𝑝 = ((2 pCnt 𝑁) + 1) → ((2↑𝑝) − 1) = ((2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)) − 1))
4746eleq1d 2824 . . . . . 6 (𝑝 = ((2 pCnt 𝑁) + 1) → (((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ ↔ ((2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)) − 1) ∈ ℙ))
48 oveq1 6820 . . . . . . . . 9 (𝑝 = ((2 pCnt 𝑁) + 1) → (𝑝 − 1) = (((2 pCnt 𝑁) + 1) − 1))
4948oveq2d 6829 . . . . . . . 8 (𝑝 = ((2 pCnt 𝑁) + 1) → (2↑(𝑝 − 1)) = (2↑(((2 pCnt 𝑁) + 1) − 1)))
5049, 46oveq12d 6831 . . . . . . 7 (𝑝 = ((2 pCnt 𝑁) + 1) → ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1)) = ((2↑(((2 pCnt 𝑁) + 1) − 1)) · ((2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)) − 1)))
5150eqeq2d 2770 . . . . . 6 (𝑝 = ((2 pCnt 𝑁) + 1) → (𝑁 = ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1)) ↔ 𝑁 = ((2↑(((2 pCnt 𝑁) + 1) − 1)) · ((2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)) − 1))))
5247, 51anbi12d 749 . . . . 5 (𝑝 = ((2 pCnt 𝑁) + 1) → ((((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1))) ↔ (((2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)) − 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ((2↑(((2 pCnt 𝑁) + 1) − 1)) · ((2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)) − 1)))))
5352rspcev 3449 . . . 4 ((((2 pCnt 𝑁) + 1) ∈ ℤ ∧ (((2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)) − 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ((2↑(((2 pCnt 𝑁) + 1) − 1)) · ((2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)) − 1)))) → ∃𝑝 ∈ ℤ (((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1))))
549, 36, 44, 53syl12anc 1475 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Even ) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → ∃𝑝 ∈ ℤ (((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1))))
5554ex 449 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁) → ∃𝑝 ∈ ℤ (((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1)))))
56 perfect1 25152 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → (1 σ ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1))) = ((2↑𝑝) · ((2↑𝑝) − 1)))
57 2cn 11283 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
58 mersenne 25151 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
59 prmnn 15590 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
6058, 59syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℕ)
61 expm1t 13082 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑝 ∈ ℕ) → (2↑𝑝) = ((2↑(𝑝 − 1)) · 2))
6257, 60, 61sylancr 698 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → (2↑𝑝) = ((2↑(𝑝 − 1)) · 2))
63 nnm1nn0 11526 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ ℕ → (𝑝 − 1) ∈ ℕ0)
6460, 63syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → (𝑝 − 1) ∈ ℕ0)
65 expcl 13072 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑝 − 1) ∈ ℕ0) → (2↑(𝑝 − 1)) ∈ ℂ)
6657, 64, 65sylancr 698 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → (2↑(𝑝 − 1)) ∈ ℂ)
67 mulcom 10214 . . . . . . . . 9 (((2↑(𝑝 − 1)) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((2↑(𝑝 − 1)) · 2) = (2 · (2↑(𝑝 − 1))))
6866, 57, 67sylancl 697 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑(𝑝 − 1)) · 2) = (2 · (2↑(𝑝 − 1))))
6962, 68eqtrd 2794 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → (2↑𝑝) = (2 · (2↑(𝑝 − 1))))
7069oveq1d 6828 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑𝑝) · ((2↑𝑝) − 1)) = ((2 · (2↑(𝑝 − 1))) · ((2↑𝑝) − 1)))
71 2cnd 11285 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → 2 ∈ ℂ)
72 prmnn 15590 . . . . . . . . 9 (((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ → ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℕ)
7372adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℕ)
7473nncnd 11228 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℂ)
7571, 66, 74mulassd 10255 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → ((2 · (2↑(𝑝 − 1))) · ((2↑𝑝) − 1)) = (2 · ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1))))
7656, 70, 753eqtrd 2798 . . . . 5 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → (1 σ ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1))) = (2 · ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1))))
77 oveq2 6821 . . . . . 6 (𝑁 = ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1)) → (1 σ 𝑁) = (1 σ ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1))))
78 oveq2 6821 . . . . . 6 (𝑁 = ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1)) → (2 · 𝑁) = (2 · ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1))))
7977, 78eqeq12d 2775 . . . . 5 (𝑁 = ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1)) → ((1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁) ↔ (1 σ ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1))) = (2 · ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1)))))
8076, 79syl5ibrcom 237 . . . 4 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → (𝑁 = ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1)) → (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)))
8180impr 650 . . 3 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ (((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1)))) → (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁))
8281rexlimiva 3166 . 2 (∃𝑝 ∈ ℤ (((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1))) → (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁))
8355, 82impbid1 215 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁) ↔ ∃𝑝 ∈ ℤ (((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wrex 3051   class class class wbr 4804  (class class class)co 6813  cc 10126  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133  cmin 10458   / cdiv 10876  cn 11212  2c2 11262  0cn0 11484  cz 11569  cexp 13054  cdvds 15182  cprime 15587   pCnt cpc 15743   σ csgm 25021   Even ceven 42047   Odd codd 42048
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-ioc 12373  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-fac 13255  df-bc 13284  df-hash 13312  df-shft 14006  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-limsup 14401  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-sum 14616  df-ef 14997  df-sin 14999  df-cos 15000  df-pi 15002  df-dvds 15183  df-gcd 15419  df-prm 15588  df-pc 15744  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-pt 16307  df-prds 16310  df-xrs 16364  df-qtop 16369  df-imas 16370  df-xps 16372  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cld 21025  df-ntr 21026  df-cls 21027  df-nei 21104  df-lp 21142  df-perf 21143  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-haus 21321  df-tx 21567  df-hmeo 21760  df-fil 21851  df-fm 21943  df-flim 21944  df-flf 21945  df-xms 22326  df-ms 22327  df-tms 22328  df-cncf 22882  df-limc 23829  df-dv 23830  df-log 24502  df-cxp 24503  df-sgm 25027  df-even 42049  df-odd 42050
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator