Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pellqrex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pellqrex 37760
Description: There is a nontrivial solution of a Pell equation in the first quadrant. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pellqrex (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ∃𝑥 ∈ (Pell1QR‘𝐷)1 < 𝑥)
Distinct variable group:   𝑥,𝐷

Proof of Theorem pellqrex
Dummy variables 𝑎 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifi 3765 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℕ)
2 eldifn 3766 . . . 4 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ¬ 𝐷 ∈ ◻NN)
31anim1i 591 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (√‘𝐷) ∈ ℚ) → (𝐷 ∈ ℕ ∧ (√‘𝐷) ∈ ℚ))
4 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐷 → (√‘𝑎) = (√‘𝐷))
54eleq1d 2715 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐷 → ((√‘𝑎) ∈ ℚ ↔ (√‘𝐷) ∈ ℚ))
6 df-squarenn 37722 . . . . . 6 NN = {𝑎 ∈ ℕ ∣ (√‘𝑎) ∈ ℚ}
75, 6elrab2 3399 . . . . 5 (𝐷 ∈ ◻NN ↔ (𝐷 ∈ ℕ ∧ (√‘𝐷) ∈ ℚ))
83, 7sylibr 224 . . . 4 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (√‘𝐷) ∈ ℚ) → 𝐷 ∈ ◻NN)
92, 8mtand 692 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ)
10 pellex 37716 . . 3 ((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) → ∃𝑐 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)
111, 9, 10syl2anc 694 . 2 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ∃𝑐 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)
12 simpll 805 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) → 𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
13 nnnn0 11337 . . . . . . . 8 (𝑐 ∈ ℕ → 𝑐 ∈ ℕ0)
1413adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → 𝑐 ∈ ℕ0)
1514ad2antlr 763 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) → 𝑐 ∈ ℕ0)
16 nnnn0 11337 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ ℕ → 𝑑 ∈ ℕ0)
1716adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → 𝑑 ∈ ℕ0)
1817ad2antlr 763 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) → 𝑑 ∈ ℕ0)
19 simpr 476 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) → ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)
20 pellqrexplicit 37758 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) → (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∈ (Pell1QR‘𝐷))
2112, 15, 18, 19, 20syl31anc 1369 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) → (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∈ (Pell1QR‘𝐷))
22 1re 10077 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
2322a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → 1 ∈ ℝ)
2422, 22readdcli 10091 . . . . . . . 8 (1 + 1) ∈ ℝ
2524a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (1 + 1) ∈ ℝ)
26 nnre 11065 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ ℕ → 𝑐 ∈ ℝ)
2726ad2antrl 764 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → 𝑐 ∈ ℝ)
281adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → 𝐷 ∈ ℕ)
2928nnrpd 11908 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → 𝐷 ∈ ℝ+)
3029rpsqrtcld 14194 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (√‘𝐷) ∈ ℝ+)
3130rpred 11910 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (√‘𝐷) ∈ ℝ)
32 nnre 11065 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ ℕ → 𝑑 ∈ ℝ)
3332ad2antll 765 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → 𝑑 ∈ ℝ)
3431, 33remulcld 10108 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → ((√‘𝐷) · 𝑑) ∈ ℝ)
3527, 34readdcld 10107 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∈ ℝ)
3622ltp1i 10965 . . . . . . . 8 1 < (1 + 1)
3736a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → 1 < (1 + 1))
38 nnge1 11084 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑐)
3938ad2antrl 764 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → 1 ≤ 𝑐)
40 1t1e1 11213 . . . . . . . . 9 (1 · 1) = 1
41 nnge1 11084 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐷)
42 sq1 12998 . . . . . . . . . . . . . 14 (1↑2) = 1
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ ℕ → (1↑2) = 1)
44 nncn 11066 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℂ)
4544sqsqrtd 14222 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ ℕ → ((√‘𝐷)↑2) = 𝐷)
4641, 43, 453brtr4d 4717 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ ℕ → (1↑2) ≤ ((√‘𝐷)↑2))
4722a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
48 nnrp 11880 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℝ+)
4948rpsqrtcld 14194 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∈ ℕ → (√‘𝐷) ∈ ℝ+)
5049rpred 11910 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ ℕ → (√‘𝐷) ∈ ℝ)
51 0le1 10589 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ 1
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ ℕ → 0 ≤ 1)
5349rpge0d 11914 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ ℕ → 0 ≤ (√‘𝐷))
5447, 50, 52, 53le2sqd 13084 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ ℕ → (1 ≤ (√‘𝐷) ↔ (1↑2) ≤ ((√‘𝐷)↑2)))
5546, 54mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ ℕ → 1 ≤ (√‘𝐷))
5628, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → 1 ≤ (√‘𝐷))
57 nnge1 11084 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑑)
5857ad2antll 765 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → 1 ≤ 𝑑)
5923, 51jctir 560 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1))
60 lemul12a 10919 . . . . . . . . . . 11 ((((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (√‘𝐷) ∈ ℝ) ∧ ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) → ((1 ≤ (√‘𝐷) ∧ 1 ≤ 𝑑) → (1 · 1) ≤ ((√‘𝐷) · 𝑑)))
6159, 31, 59, 33, 60syl22anc 1367 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → ((1 ≤ (√‘𝐷) ∧ 1 ≤ 𝑑) → (1 · 1) ≤ ((√‘𝐷) · 𝑑)))
6256, 58, 61mp2and 715 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (1 · 1) ≤ ((√‘𝐷) · 𝑑))
6340, 62syl5eqbrr 4721 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → 1 ≤ ((√‘𝐷) · 𝑑))
6423, 23, 27, 34, 39, 63le2addd 10684 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (1 + 1) ≤ (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)))
6523, 25, 35, 37, 64ltletrd 10235 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → 1 < (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)))
6665adantr 480 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) → 1 < (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)))
67 breq2 4689 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) → (1 < 𝑥 ↔ 1 < (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑))))
6867rspcev 3340 . . . . 5 (((𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 1 < (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑))) → ∃𝑥 ∈ (Pell1QR‘𝐷)1 < 𝑥)
6921, 66, 68syl2anc 694 . . . 4 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) → ∃𝑥 ∈ (Pell1QR‘𝐷)1 < 𝑥)
7069ex 449 . . 3 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1 → ∃𝑥 ∈ (Pell1QR‘𝐷)1 < 𝑥))
7170rexlimdvva 3067 . 2 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (∃𝑐 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1 → ∃𝑥 ∈ (Pell1QR‘𝐷)1 < 𝑥))
7211, 71mpd 15 1 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ∃𝑥 ∈ (Pell1QR‘𝐷)1 < 𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wrex 2942  cdif 3604   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  cq 11826  cexp 12900  csqrt 14017  NNcsquarenn 37717  Pell1QRcpell1qr 37718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-ico 12219  df-fz 12365  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-numer 15490  df-denom 15491  df-squarenn 37722  df-pell1qr 37723
This theorem is referenced by:  pellfundre  37762  pellfundge  37763  pellfundglb  37766
  Copyright terms: Public domain W3C validator