Theorem pellfundgt1 37918

Description: Weak lower bound on the Pell fundamental solution. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pellfundgt1	⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 < (PellFund‘𝐷))

Proof of Theorem pellfundgt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 10218	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 ∈ ℝ)
2		eldifi 3863	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℕ)
3	2	peano2nnd 11200	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐷 + 1) ∈ ℕ)
4	3	nnrpd 12034	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐷 + 1) ∈ ℝ+)
5	4	rpsqrtcld 14320	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘(𝐷 + 1)) ∈ ℝ+)
6	5	rpred 12036	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘(𝐷 + 1)) ∈ ℝ)
7	2	nnrpd 12034	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℝ+)
8	7	rpsqrtcld 14320	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘𝐷) ∈ ℝ+)
9	8	rpred 12036	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘𝐷) ∈ ℝ)
10	6, 9	readdcld 10232	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
11		pellfundre 37916	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (PellFund‘𝐷) ∈ ℝ)
12		sqrt1 14182	. . . . 5 ⊢ (√‘1) = 1
13	12, 1	syl5eqel 2831	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘1) ∈ ℝ)
14	13, 13	readdcld 10232	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((√‘1) + (√‘1)) ∈ ℝ)
15		1lt2 11357	. . . . 5 ⊢ 1 < 2
16	12, 12	oveq12i 6813	. . . . . 6 ⊢ ((√‘1) + (√‘1)) = (1 + 1)
17		1p1e2 11297	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
18	16, 17	eqtri 2770	. . . . 5 ⊢ ((√‘1) + (√‘1)) = 2
19	15, 18	breqtrri 4819	. . . 4 ⊢ 1 < ((√‘1) + (√‘1))
20	19	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 < ((√‘1) + (√‘1)))
21	3	nnge1d 11226	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 ≤ (𝐷 + 1))
22		0le1 10714	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 1
23	22	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 0 ≤ 1)
24	2	nnred 11198	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℝ)
25		peano2re 10372	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ → (𝐷 + 1) ∈ ℝ)
26	24, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐷 + 1) ∈ ℝ)
27	3	nnnn0d 11514	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐷 + 1) ∈ ℕ0)
28	27	nn0ge0d 11517	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 0 ≤ (𝐷 + 1))
29	1, 23, 26, 28	sqrtled 14335	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (1 ≤ (𝐷 + 1) ↔ (√‘1) ≤ (√‘(𝐷 + 1))))
30	21, 29	mpbid 222	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘1) ≤ (√‘(𝐷 + 1)))
31	2	nnge1d 11226	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 ≤ 𝐷)
32	2	nnnn0d 11514	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℕ0)
33	32	nn0ge0d 11517	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 0 ≤ 𝐷)
34	1, 23, 24, 33	sqrtled 14335	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (1 ≤ 𝐷 ↔ (√‘1) ≤ (√‘𝐷)))
35	31, 34	mpbid 222	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘1) ≤ (√‘𝐷))
36	13, 13, 6, 9, 30, 35	le2addd 10809	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((√‘1) + (√‘1)) ≤ ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)))
37	1, 14, 10, 20, 36	ltletrd 10360	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 < ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)))
38		pellfundge 37917	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ (PellFund‘𝐷))
39	1, 10, 11, 37, 38	ltletrd 10360	1 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 < (PellFund‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2127   ∖ cdif 3700   class class class wbr 4792  ‘cfv 6037  (class class class)co 6801  ℝcr 10098  0cc0 10099  1c1 10100   + caddc 10102   < clt 10237   ≤ cle 10238  ℕcn 11183  2c2 11233  √csqrt 14143  ◻_NNcsquarenn 37871  PellFundcpellfund 37875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-inf2 8699  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-se 5214  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-isom 6046  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-omul 7722  df-er 7899  df-map 8013  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8501  df-inf 8502  df-oi 8568  df-card 8926  df-acn 8929  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-n0 11456  df-xnn0 11527  df-z 11541  df-uz 11851  df-q 11953  df-rp 11997  df-ico 12345  df-fz 12491  df-fl 12758  df-mod 12834  df-seq 12967  df-exp 13026  df-hash 13283  df-cj 14009  df-re 14010  df-im 14011  df-sqrt 14145  df-abs 14146  df-dvds 15154  df-gcd 15390  df-numer 15616  df-denom 15617  df-squarenn 37876  df-pell1qr 37877  df-pell14qr 37878  df-pell1234qr 37879  df-pellfund 37880

This theorem is referenced by:  pellfundex  37921  pellfundrp  37923  pellfundne1  37924  pellfund14  37933