Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pellfundgt1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pellfundgt1 37918
Description: Weak lower bound on the Pell fundamental solution. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pellfundgt1 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 < (PellFund‘𝐷))

Proof of Theorem pellfundgt1
StepHypRef Expression
1 1red 10218 . 2 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 ∈ ℝ)
2 eldifi 3863 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℕ)
32peano2nnd 11200 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐷 + 1) ∈ ℕ)
43nnrpd 12034 . . . . 5 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐷 + 1) ∈ ℝ+)
54rpsqrtcld 14320 . . . 4 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘(𝐷 + 1)) ∈ ℝ+)
65rpred 12036 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘(𝐷 + 1)) ∈ ℝ)
72nnrpd 12034 . . . . 5 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℝ+)
87rpsqrtcld 14320 . . . 4 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘𝐷) ∈ ℝ+)
98rpred 12036 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘𝐷) ∈ ℝ)
106, 9readdcld 10232 . 2 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
11 pellfundre 37916 . 2 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (PellFund‘𝐷) ∈ ℝ)
12 sqrt1 14182 . . . . 5 (√‘1) = 1
1312, 1syl5eqel 2831 . . . 4 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘1) ∈ ℝ)
1413, 13readdcld 10232 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((√‘1) + (√‘1)) ∈ ℝ)
15 1lt2 11357 . . . . 5 1 < 2
1612, 12oveq12i 6813 . . . . . 6 ((√‘1) + (√‘1)) = (1 + 1)
17 1p1e2 11297 . . . . . 6 (1 + 1) = 2
1816, 17eqtri 2770 . . . . 5 ((√‘1) + (√‘1)) = 2
1915, 18breqtrri 4819 . . . 4 1 < ((√‘1) + (√‘1))
2019a1i 11 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 < ((√‘1) + (√‘1)))
213nnge1d 11226 . . . . 5 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 ≤ (𝐷 + 1))
22 0le1 10714 . . . . . . 7 0 ≤ 1
2322a1i 11 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 0 ≤ 1)
242nnred 11198 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℝ)
25 peano2re 10372 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ ℝ → (𝐷 + 1) ∈ ℝ)
2624, 25syl 17 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐷 + 1) ∈ ℝ)
273nnnn0d 11514 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐷 + 1) ∈ ℕ0)
2827nn0ge0d 11517 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 0 ≤ (𝐷 + 1))
291, 23, 26, 28sqrtled 14335 . . . . 5 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (1 ≤ (𝐷 + 1) ↔ (√‘1) ≤ (√‘(𝐷 + 1))))
3021, 29mpbid 222 . . . 4 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘1) ≤ (√‘(𝐷 + 1)))
312nnge1d 11226 . . . . 5 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 ≤ 𝐷)
322nnnn0d 11514 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℕ0)
3332nn0ge0d 11517 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 0 ≤ 𝐷)
341, 23, 24, 33sqrtled 14335 . . . . 5 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (1 ≤ 𝐷 ↔ (√‘1) ≤ (√‘𝐷)))
3531, 34mpbid 222 . . . 4 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘1) ≤ (√‘𝐷))
3613, 13, 6, 9, 30, 35le2addd 10809 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((√‘1) + (√‘1)) ≤ ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)))
371, 14, 10, 20, 36ltletrd 10360 . 2 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 < ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)))
38 pellfundge 37917 . 2 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ (PellFund‘𝐷))
391, 10, 11, 37, 38ltletrd 10360 1 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 < (PellFund‘𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2127  cdif 3700   class class class wbr 4792  cfv 6037  (class class class)co 6801  cr 10098  0cc0 10099  1c1 10100   + caddc 10102   < clt 10237  cle 10238  cn 11183  2c2 11233  csqrt 14143  NNcsquarenn 37871  PellFundcpellfund 37875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-inf2 8699  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-se 5214  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-isom 6046  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-omul 7722  df-er 7899  df-map 8013  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8501  df-inf 8502  df-oi 8568  df-card 8926  df-acn 8929  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-n0 11456  df-xnn0 11527  df-z 11541  df-uz 11851  df-q 11953  df-rp 11997  df-ico 12345  df-fz 12491  df-fl 12758  df-mod 12834  df-seq 12967  df-exp 13026  df-hash 13283  df-cj 14009  df-re 14010  df-im 14011  df-sqrt 14145  df-abs 14146  df-dvds 15154  df-gcd 15390  df-numer 15616  df-denom 15617  df-squarenn 37876  df-pell1qr 37877  df-pell14qr 37878  df-pell1234qr 37879  df-pellfund 37880
This theorem is referenced by:  pellfundex  37921  pellfundrp  37923  pellfundne1  37924  pellfund14  37933
  Copyright terms: Public domain W3C validator