Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pell1qrss14 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pell1qrss14 37958
Description: First-quadrant Pell solutions are a subset of the positive solutions. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pell1qrss14 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (Pell1QR‘𝐷) ⊆ (Pell14QR‘𝐷))

Proof of Theorem pell1qrss14
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0z 11602 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)
21a1i 11 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝑏 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ))
32anim1d 598 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑎 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
43reximdv2 3162 . . . . 5 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)))
54reximdv 3164 . . . 4 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (∃𝑐 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → ∃𝑐 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)))
65anim2d 599 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝑎 ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝑎 ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
7 elpell1qr 37937 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
8 elpell14qr 37939 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ (𝑎 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
96, 7, 83imtr4d 283 . 2 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷) → 𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷)))
109ssrdv 3758 1 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (Pell1QR‘𝐷) ⊆ (Pell14QR‘𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wrex 3062  cdif 3720  wss 3723  cfv 6031  (class class class)co 6793  cr 10137  1c1 10139   + caddc 10141   · cmul 10143  cmin 10468  cn 11222  2c2 11272  0cn0 11494  cz 11579  cexp 13067  csqrt 14181  NNcsquarenn 37926  Pell1QRcpell1qr 37927  Pell14QRcpell14qr 37929
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-pell1qr 37932  df-pell14qr 37933
This theorem is referenced by:  elpell1qr2  37962  pellfundre  37971  pellfundge  37972  pellfundglb  37975  pellfundex  37976  pellfund14  37988  pellfund14b  37989  rmspecfund  38000
  Copyright terms: Public domain W3C validator