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Theorem pell1qrge1 37905
Description: A Pell solution in the first quadrant is at least 1. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pell1qrge1 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → 1 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem pell1qrge1
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpell1qr 37882 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0 (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
2 1red 10218 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 1 ∈ ℝ)
3 simplrl 819 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 𝑎 ∈ ℕ0)
43nn0red 11515 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 𝑎 ∈ ℝ)
5 eldifi 3863 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℕ)
65ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 𝐷 ∈ ℕ)
76nnnn0d 11514 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 𝐷 ∈ ℕ0)
87nn0red 11515 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 𝐷 ∈ ℝ)
97nn0ge0d 11517 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 0 ≤ 𝐷)
108, 9resqrtcld 14326 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (√‘𝐷) ∈ ℝ)
11 simplrr 820 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 𝑏 ∈ ℕ0)
1211nn0red 11515 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 𝑏 ∈ ℝ)
1310, 12remulcld 10233 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → ((√‘𝐷) · 𝑏) ∈ ℝ)
144, 13readdcld 10232 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∈ ℝ)
15 2nn0 11472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℕ0
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 2 ∈ ℕ0)
1711, 16nn0expcld 13196 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (𝑏↑2) ∈ ℕ0)
187, 17nn0mulcld 11519 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (𝐷 · (𝑏↑2)) ∈ ℕ0)
1918nn0ge0d 11517 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 0 ≤ (𝐷 · (𝑏↑2)))
2018nn0red 11515 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (𝐷 · (𝑏↑2)) ∈ ℝ)
212, 20addge02d 10779 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (0 ≤ (𝐷 · (𝑏↑2)) ↔ 1 ≤ ((𝐷 · (𝑏↑2)) + 1)))
2219, 21mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 1 ≤ ((𝐷 · (𝑏↑2)) + 1))
23 sq1 13123 . . . . . . . . . . . 12 (1↑2) = 1
2423a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (1↑2) = 1)
25 nn0cn 11465 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ℂ)
2625ad2antrl 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) → 𝑎 ∈ ℂ)
2726sqcld 13171 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) → (𝑎↑2) ∈ ℂ)
285ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) → 𝐷 ∈ ℕ)
2928nncnd 11199 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) → 𝐷 ∈ ℂ)
30 nn0cn 11465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℂ)
3130ad2antll 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) → 𝑏 ∈ ℂ)
3231sqcld 13171 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) → (𝑏↑2) ∈ ℂ)
3329, 32mulcld 10223 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) → (𝐷 · (𝑏↑2)) ∈ ℂ)
34 1cnd 10219 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) → 1 ∈ ℂ)
3527, 33, 34subaddd 10573 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) → (((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1 ↔ ((𝐷 · (𝑏↑2)) + 1) = (𝑎↑2)))
3635biimpa 502 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → ((𝐷 · (𝑏↑2)) + 1) = (𝑎↑2))
3736eqcomd 2754 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (𝑎↑2) = ((𝐷 · (𝑏↑2)) + 1))
3822, 24, 373brtr4d 4824 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (1↑2) ≤ (𝑎↑2))
39 0le1 10714 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ 1
4039a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 0 ≤ 1)
413nn0ge0d 11517 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 0 ≤ 𝑎)
422, 4, 40, 41le2sqd 13209 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (1 ≤ 𝑎 ↔ (1↑2) ≤ (𝑎↑2)))
4338, 42mpbird 247 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 1 ≤ 𝑎)
448, 9sqrtge0d 14329 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 0 ≤ (√‘𝐷))
4511nn0ge0d 11517 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 0 ≤ 𝑏)
4610, 12, 44, 45mulge0d 10767 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 0 ≤ ((√‘𝐷) · 𝑏))
474, 13addge01d 10778 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (0 ≤ ((√‘𝐷) · 𝑏) ↔ 𝑎 ≤ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏))))
4846, 47mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 𝑎 ≤ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
492, 4, 14, 43, 48letrd 10357 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 1 ≤ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
5049adantrl 754 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 1 ≤ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
51 simprl 811 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
5250, 51breqtrrd 4820 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 1 ≤ 𝐴)
5352ex 449 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) → ((𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 1 ≤ 𝐴))
5453rexlimdvva 3164 . . . 4 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (∃𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0 (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 1 ≤ 𝐴))
5554expimpd 630 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0 (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 1 ≤ 𝐴))
561, 55sylbid 230 . 2 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷) → 1 ≤ 𝐴))
5756imp 444 1 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → 1 ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1620  wcel 2127  wrex 3039  cdif 3700   class class class wbr 4792  cfv 6037  (class class class)co 6801  cc 10097  cr 10098  0cc0 10099  1c1 10100   + caddc 10102   · cmul 10104  cle 10238  cmin 10429  cn 11183  2c2 11233  0cn0 11455  cexp 13025  csqrt 14143  NNcsquarenn 37871  Pell1QRcpell1qr 37872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8501  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-rp 11997  df-seq 12967  df-exp 13026  df-cj 14009  df-re 14010  df-im 14011  df-sqrt 14145  df-pell1qr 37877
This theorem is referenced by:  elpell1qr2  37907
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