Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pell1qr1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pell1qr1 37752
 Description: 1 is a Pell solution and in the first quadrant as one. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pell1qr1 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 ∈ (Pell1QR‘𝐷))

Proof of Theorem pell1qr1
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1red 10093 . 2 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 ∈ ℝ)
2 1nn0 11346 . . . 4 1 ∈ ℕ0
32a1i 11 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 ∈ ℕ0)
4 0nn0 11345 . . . 4 0 ∈ ℕ0
54a1i 11 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 0 ∈ ℕ0)
6 eldifi 3765 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℕ)
76nncnd 11074 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℂ)
87sqrtcld 14220 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
98mul01d 10273 . . . . 5 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((√‘𝐷) · 0) = 0)
109oveq2d 6706 . . . 4 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (1 + ((√‘𝐷) · 0)) = (1 + 0))
11 1p0e1 11171 . . . 4 (1 + 0) = 1
1210, 11syl6req 2702 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 = (1 + ((√‘𝐷) · 0)))
13 sq1 12998 . . . . . 6 (1↑2) = 1
1413a1i 11 . . . . 5 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (1↑2) = 1)
15 sq0 12995 . . . . . . 7 (0↑2) = 0
1615oveq2i 6701 . . . . . 6 (𝐷 · (0↑2)) = (𝐷 · 0)
177mul01d 10273 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐷 · 0) = 0)
1816, 17syl5eq 2697 . . . . 5 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐷 · (0↑2)) = 0)
1914, 18oveq12d 6708 . . . 4 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((1↑2) − (𝐷 · (0↑2))) = (1 − 0))
20 1m0e1 11169 . . . 4 (1 − 0) = 1
2119, 20syl6eq 2701 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((1↑2) − (𝐷 · (0↑2))) = 1)
22 oveq1 6697 . . . . . 6 (𝑎 = 1 → (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = (1 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
2322eqeq2d 2661 . . . . 5 (𝑎 = 1 → (1 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ↔ 1 = (1 + ((√‘𝐷) · 𝑏))))
24 oveq1 6697 . . . . . . 7 (𝑎 = 1 → (𝑎↑2) = (1↑2))
2524oveq1d 6705 . . . . . 6 (𝑎 = 1 → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = ((1↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))))
2625eqeq1d 2653 . . . . 5 (𝑎 = 1 → (((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1 ↔ ((1↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))
2723, 26anbi12d 747 . . . 4 (𝑎 = 1 → ((1 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ↔ (1 = (1 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((1↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)))
28 oveq2 6698 . . . . . . 7 (𝑏 = 0 → ((√‘𝐷) · 𝑏) = ((√‘𝐷) · 0))
2928oveq2d 6706 . . . . . 6 (𝑏 = 0 → (1 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = (1 + ((√‘𝐷) · 0)))
3029eqeq2d 2661 . . . . 5 (𝑏 = 0 → (1 = (1 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ↔ 1 = (1 + ((√‘𝐷) · 0))))
31 oveq1 6697 . . . . . . . 8 (𝑏 = 0 → (𝑏↑2) = (0↑2))
3231oveq2d 6706 . . . . . . 7 (𝑏 = 0 → (𝐷 · (𝑏↑2)) = (𝐷 · (0↑2)))
3332oveq2d 6706 . . . . . 6 (𝑏 = 0 → ((1↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = ((1↑2) − (𝐷 · (0↑2))))
3433eqeq1d 2653 . . . . 5 (𝑏 = 0 → (((1↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1 ↔ ((1↑2) − (𝐷 · (0↑2))) = 1))
3530, 34anbi12d 747 . . . 4 (𝑏 = 0 → ((1 = (1 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((1↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ↔ (1 = (1 + ((√‘𝐷) · 0)) ∧ ((1↑2) − (𝐷 · (0↑2))) = 1)))
3627, 35rspc2ev 3355 . . 3 ((1 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0 ∧ (1 = (1 + ((√‘𝐷) · 0)) ∧ ((1↑2) − (𝐷 · (0↑2))) = 1)) → ∃𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0 (1 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))
373, 5, 12, 21, 36syl112anc 1370 . 2 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ∃𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0 (1 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))
38 elpell1qr 37728 . 2 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (1 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0 (1 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
391, 37, 38mpbir2and 977 1 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 ∈ (Pell1QR‘𝐷))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∃wrex 2942   ∖ cdif 3604  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   − cmin 10304  ℕcn 11058  2c2 11108  ℕ0cn0 11330  ↑cexp 12900  √csqrt 14017  ◻NNcsquarenn 37717  Pell1QRcpell1qr 37718 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-pell1qr 37723 This theorem is referenced by:  elpell1qr2  37753
 Copyright terms: Public domain W3C validator