Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2uz2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem peano2uz2 11667
 Description: Second Peano postulate for upper integers. (Contributed by NM, 3-Oct-2004.)
Assertion
Ref Expression
peano2uz2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑥}) → (𝐵 + 1) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑥})
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem peano2uz2
StepHypRef Expression
1 peano2z 11620 . . . 4 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 + 1) ∈ ℤ)
21ad2antrl 707 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵)) → (𝐵 + 1) ∈ ℤ)
3 zre 11583 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
4 zre 11583 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
5 lep1 11064 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≤ (𝐵 + 1))
65adantl 467 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ (𝐵 + 1))
7 peano2re 10411 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
87ancli 538 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ))
9 letr 10333 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵𝐵 ≤ (𝐵 + 1)) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
1093expb 1113 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ)) → ((𝐴𝐵𝐵 ≤ (𝐵 + 1)) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
118, 10sylan2 580 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵𝐵 ≤ (𝐵 + 1)) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
126, 11mpan2d 674 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
133, 4, 12syl2an 583 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
1413impr 442 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵)) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 1))
152, 14jca 501 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵)) → ((𝐵 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
16 breq2 4790 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → (𝐴𝑥𝐴𝐵))
1716elrab 3515 . . 3 (𝐵 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑥} ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵))
1817anbi2i 609 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑥}) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵)))
19 breq2 4790 . . 3 (𝑥 = (𝐵 + 1) → (𝐴𝑥𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
2019elrab 3515 . 2 ((𝐵 + 1) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑥} ↔ ((𝐵 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
2115, 18, 203imtr4i 281 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑥}) → (𝐵 + 1) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑥})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∈ wcel 2145  {crab 3065   class class class wbr 4786  (class class class)co 6793  ℝcr 10137  1c1 10139   + caddc 10141   ≤ cle 10277  ℤcz 11579 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580 This theorem is referenced by:  dfuzi  11670
 Copyright terms: Public domain W3C validator