MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2rem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem peano2rem 10386
Description: "Reverse" second Peano postulate analogue for reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
peano2rem (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)

Proof of Theorem peano2rem
StepHypRef Expression
1 1re 10077 . 2 1 ∈ ℝ
2 resubcl 10383 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
31, 2mpan2 707 1 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2030  (class class class)co 6690  cr 9973  1c1 9975  cmin 10304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-ltxr 10117  df-sub 10306  df-neg 10307
This theorem is referenced by:  lem1  10902  addltmul  11306  div4p1lem1div2  11325  nnunb  11326  suprzcl  11495  zbtwnre  11824  rebtwnz  11825  qbtwnre  12068  qbtwnxr  12069  xrinfmsslem  12176  xrub  12180  reltre  12208  elfznelfzo  12613  fldiv4p1lem1div2  12676  fldiv4lem1div2uz2  12677  ceile  12688  intfracq  12698  fldiv  12699  m1modnnsub1  12756  expubnd  12961  bernneq2  13031  expnbnd  13033  cshwidxm1  13599  isercolllem1  14439  tgioo  22646  icoopnst  22785  mbfi1fseqlem6  23532  dvfsumlem1  23834  dvfsumlem2  23835  dgreq0  24066  advlog  24445  atanlogsublem  24687  birthdaylem3  24725  wilthlem1  24839  ftalem5  24848  ppiub  24974  chtublem  24981  chtub  24982  logfaclbnd  24992  logfacbnd3  24993  perfectlem2  25000  lgsval2lem  25077  lgsqrlem2  25117  gausslemma2dlem0c  25128  gausslemma2dlem1a  25135  lgseisenlem2  25146  lgseisen  25149  lgsquadlem1  25150  lgsquadlem2  25151  2lgslem1c  25163  2lgsoddprmlem2  25179  rplogsumlem1  25218  selberg2lem  25284  pntrsumo1  25299  pntpbnd1a  25319  colinearalglem4  25834  axlowdimlem16  25882  axeuclidlem  25887  nbusgrvtxm1  26325  pthdlem1  26718  crctcshwlkn0lem1  26758  wwlksm1edg  26835  clwwlkel  27009  clwwlknonex2lem2  27083  numclwwlk7  27378  addltmulALT  29433  cvmliftlem2  31394  cvmliftlem6  31398  cvmliftlem8  31400  cvmliftlem9  31401  cvmliftlem10  31402  iooelexlt  33340  ltflcei  33527  poimirlem12  33551  poimirlem13  33552  poimirlem14  33553  poimirlem31  33570  poimirlem32  33571  itg2addnclem2  33592  itg2addnclem3  33593  monoords  39825  supxrgere  39862  infleinflem2  39900  unb2ltle  39955  limsupre3lem  40282  xlimxrre  40375  xlimmnfv  40378  stoweidlem14  40549  stoweidlem34  40569  fourierdlem11  40653  fourierdlem12  40654  fourierdlem15  40657  fourierdlem42  40684  fourierdlem50  40691  fourierdlem64  40705  fourierdlem79  40720  smfresal  41316  zm1nn  41641  m1mod0mod1  41664  nn0oALTV  41932  perfectALTVlem2  41956  m1modmmod  42641  difmodm1lt  42642  flnn0div2ge  42652  logbpw2m1  42686  fllog2  42687
  Copyright terms: Public domain W3C validator