MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2nnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem peano2nnd 11075
Description: Peano postulate: a successor of a positive integer is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
peano2nnd (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem peano2nnd
StepHypRef Expression
1 nnred.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
2 peano2nn 11070 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2030  (class class class)co 6690  1c1 9975   + caddc 9977  cn 11058
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-nn 11059
This theorem is referenced by:  bcpasc  13148  relexpsucnnr  13809  o1fsum  14589  bpolydiflem  14829  eftlub  14883  eirrlem  14976  infpnlem1  15661  infpnlem2  15662  prmreclem4  15670  prmreclem5  15671  prmreclem6  15672  vdwlem6  15737  cayhamlem1  20719  ovolunlem1a  23310  ovolicc2lem3  23333  uniioombllem3  23399  uniioombllem4  23400  vieta1lem1  24110  vieta1lem2  24111  aaliou3lem2  24143  lgamgulmlem3  24802  lgamgulmlem4  24803  lgamgulmlem5  24804  lgamgulmlem6  24805  lgamgulm2  24807  lgamcvg2  24826  gamcvg  24827  gamcvg2lem  24830  regamcl  24832  relgamcl  24833  basellem1  24852  basellem2  24853  basellem3  24854  basellem4  24855  basellem5  24856  basellem6  24857  basellem7  24858  basellem8  24859  basellem9  24860  perfectlem1  24999  perfectlem2  25000  bclbnd  25050  lgsdilem2  25103  rplogsumlem2  25219  dchrisumlem2  25224  pntrsumbnd2  25301  pntrlog2bndlem2  25312  pntpbnd1a  25319  pntpbnd1  25320  pntpbnd2  25321  axlowdimlem16  25882  isarchi3  29869  ofldchr  29942  fzto1st  29981  psgnfzto1st  29983  smatrcl  29990  esumfzf  30259  esumpcvgval  30268  esumcvg  30276  dstfrvunirn  30664  dstfrvclim1  30667  subfacp1lem1  31287  subfacp1lem5  31292  subfaclim  31296  poimirlem7  33546  poimirlem15  33554  poimirlem17  33556  poimirlem19  33558  poimirlem28  33567  4rexfrabdioph  37679  6rexfrabdioph  37680  pellfundge  37763  pellfundgt1  37764  limsup10exlem  40322  wallispilem5  40604  wallispi2lem1  40606  wallispi2  40608  fourierdlem47  40688  nnfoctbdjlem  40990  hoidmvlelem2  41131  vonioolem2  41216  vonicclem2  41219  fmtnof1  41772  lighneallem4b  41851  proththdlem  41855  perfectALTVlem1  41955  perfectALTVlem2  41956  blennngt2o2  42711
  Copyright terms: Public domain W3C validator