MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem peano2 7033
Description: The successor of any natural number is a natural number. One of Peano's five postulates for arithmetic. Proposition 7.30(2) of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 3-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
peano2 (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem peano2
StepHypRef Expression
1 peano2b 7028 . 2 (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω)
21biimpi 206 1 (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1987  suc csuc 5684  ωcom 7012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-om 7013
This theorem is referenced by:  onnseq  7386  seqomlem1  7490  seqomlem4  7493  onasuc  7553  onmsuc  7554  onesuc  7555  nnacl  7636  nnecl  7638  nnacom  7642  nnmsucr  7650  1onn  7664  2onn  7665  3onn  7666  4onn  7667  nnneo  7676  nneob  7677  omopthlem1  7680  onomeneq  8094  dif1en  8137  findcard  8143  findcard2  8144  unbnn2  8161  dffi3  8281  wofib  8394  axinf2  8481  dfom3  8488  noinfep  8501  cantnflt  8513  trcl  8548  cardsucnn  8755  dif1card  8777  fseqdom  8793  alephfp  8875  ackbij1lem16  9001  ackbij2lem2  9006  ackbij2lem3  9007  ackbij2  9009  sornom  9043  infpssrlem4  9072  fin23lem26  9091  fin23lem20  9103  fin23lem38  9115  fin23lem39  9116  isf32lem2  9120  isf32lem3  9121  isf34lem7  9145  isf34lem6  9146  fin1a2lem6  9171  fin1a2lem9  9174  fin1a2lem12  9177  domtriomlem  9208  axdc2lem  9214  axdc3lem  9216  axdc3lem2  9217  axdc3lem4  9219  axdc4lem  9221  axdclem2  9286  peano2nn  10976  om2uzrani  12691  uzrdgsuci  12699  fzennn  12707  axdc4uzlem  12722  bnj970  30722  trpredtr  31428  elhf2  31921  0hf  31923  hfsn  31925  hfpw  31931  neibastop2lem  31994  finxpsuclem  32863
  Copyright terms: Public domain W3C validator