MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem peano1 7127
Description: Zero is a natural number. One of Peano's five postulates for arithmetic. Proposition 7.30(1) of [TakeutiZaring] p. 42. Note: Unlike most textbooks, our proofs of peano1 7127 through peano5 7131 do not use the Axiom of Infinity. Unlike Takeuti and Zaring, they also do not use the Axiom of Regularity. (Contributed by NM, 15-May-1994.)
Assertion
Ref Expression
peano1 ∅ ∈ ω

Proof of Theorem peano1
StepHypRef Expression
1 limom 7122 . 2 Lim ω
2 0ellim 5825 . 2 (Lim ω → ∅ ∈ ω)
31, 2ax-mp 5 1 ∅ ∈ ω
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2030  c0 3948  Lim wlim 5762  ωcom 7107
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-tr 4786  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-om 7108
This theorem is referenced by:  onnseq  7486  rdg0  7562  fr0g  7576  seqomlem3  7592  oa1suc  7656  om1  7667  oe1  7669  nna0r  7734  nnm0r  7735  nnmcl  7737  nnecl  7738  nnmsucr  7750  nnaword1  7754  nnaordex  7763  1onn  7764  oaabs2  7770  nnm1  7773  nneob  7777  omopth  7783  snfi  8079  0sdom1dom  8199  0fin  8229  findcard2  8241  nnunifi  8252  unblem2  8254  infn0  8263  unfilem3  8267  dffi3  8378  inf0  8556  infeq5i  8571  axinf2  8575  dfom3  8582  infdifsn  8592  noinfep  8595  cantnflt  8607  cnfcomlem  8634  cnfcom  8635  cnfcom2lem  8636  cnfcom3lem  8638  cnfcom3  8639  trcl  8642  rankdmr1  8702  rankeq0b  8761  cardlim  8836  infxpenc  8879  infxpenc2  8883  alephgeom  8943  alephfplem4  8968  ackbij1lem13  9092  ackbij1  9098  ackbij1b  9099  ominf4  9172  fin23lem16  9195  fin23lem31  9203  fin23lem40  9211  isf32lem9  9221  isf34lem7  9239  isf34lem6  9240  fin1a2lem6  9265  fin1a2lem7  9266  fin1a2lem11  9270  axdc3lem2  9311  axdc3lem4  9313  axdc4lem  9315  axcclem  9317  axdclem2  9380  pwfseqlem5  9523  omina  9551  wunex3  9601  1lt2pi  9765  1nn  11069  om2uzrani  12791  uzrdg0i  12798  fzennn  12807  axdc4uzlem  12822  hash1  13230  ltbwe  19520  2ndcdisj2  21308  snct  29619  trpredpred  31852  0hf  32409  neibastop2lem  32480  rdgeqoa  33348  finxp0  33358
  Copyright terms: Public domain W3C validator