MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem peano1 7033
Description: Zero is a natural number. One of Peano's five postulates for arithmetic. Proposition 7.30(1) of [TakeutiZaring] p. 42. Note: Unlike most textbooks, our proofs of peano1 7033 through peano5 7037 do not use the Axiom of Infinity. Unlike Takeuti and Zaring, they also do not use the Axiom of Regularity. (Contributed by NM, 15-May-1994.)
Assertion
Ref Expression
peano1 ∅ ∈ ω

Proof of Theorem peano1
StepHypRef Expression
1 limom 7028 . 2 Lim ω
2 0ellim 5749 . 2 (Lim ω → ∅ ∈ ω)
31, 2ax-mp 5 1 ∅ ∈ ω
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 1992  c0 3896  Lim wlim 5686  ωcom 7013
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pr 4872  ax-un 6903
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-om 7014
This theorem is referenced by:  onnseq  7387  rdg0  7463  fr0g  7477  seqomlem3  7493  oa1suc  7557  om1  7568  oe1  7570  nna0r  7635  nnm0r  7636  nnmcl  7638  nnecl  7639  nnmsucr  7651  nnaword1  7655  nnaordex  7664  1onn  7665  oaabs2  7671  nnm1  7674  nneob  7678  omopth  7684  snfi  7983  0sdom1dom  8103  0fin  8133  findcard2  8145  nnunifi  8156  unblem2  8158  infn0  8167  unfilem3  8171  dffi3  8282  inf0  8463  infeq5i  8478  axinf2  8482  dfom3  8489  infdifsn  8499  noinfep  8502  cantnflt  8514  cnfcomlem  8541  cnfcom  8542  cnfcom2lem  8543  cnfcom3lem  8545  cnfcom3  8546  trcl  8549  rankdmr1  8609  rankeq0b  8668  cardlim  8743  infxpenc  8786  infxpenc2  8790  alephgeom  8850  alephfplem4  8875  ackbij1lem13  8999  ackbij1  9005  ackbij1b  9006  ominf4  9079  fin23lem16  9102  fin23lem31  9110  fin23lem40  9118  isf32lem9  9128  isf34lem7  9146  isf34lem6  9147  fin1a2lem6  9172  fin1a2lem7  9173  fin1a2lem11  9177  axdc3lem2  9218  axdc3lem4  9220  axdc4lem  9222  axcclem  9224  axdclem2  9287  pwfseqlem5  9430  omina  9458  wunex3  9508  1lt2pi  9672  1nn  10976  om2uzrani  12688  uzrdg0i  12695  fzennn  12704  axdc4uzlem  12719  hash1  13129  ltbwe  19386  2ndcdisj2  21165  snct  29325  trpredpred  31417  0hf  31899  neibastop2lem  31970  rdgeqoa  32823  finxp0  32833
  Copyright terms: Public domain W3C validator