MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pczcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pczcl 15775
Description: Closure of the prime power function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
pczcl ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem pczcl
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2760 . . 3 sup({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑥) ∥ 𝑁}, ℝ, < ) = sup({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑥) ∥ 𝑁}, ℝ, < )
21pczpre 15774 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑁) = sup({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑥) ∥ 𝑁}, ℝ, < ))
3 prmuz2 15630 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
4 eqid 2760 . . . . 5 {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑥) ∥ 𝑁} = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑥) ∥ 𝑁}
54, 1pcprecl 15766 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (sup({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑥) ∥ 𝑁}, ℝ, < ) ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑sup({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑥) ∥ 𝑁}, ℝ, < )) ∥ 𝑁))
63, 5sylan 489 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (sup({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑥) ∥ 𝑁}, ℝ, < ) ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑sup({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑥) ∥ 𝑁}, ℝ, < )) ∥ 𝑁))
76simpld 477 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → sup({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑥) ∥ 𝑁}, ℝ, < ) ∈ ℕ0)
82, 7eqeltrd 2839 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 2139  wne 2932  {crab 3054   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6814  supcsup 8513  cr 10147  0cc0 10148   < clt 10286  2c2 11282  0cn0 11504  cz 11589  cuz 11899  cexp 13074  cdvds 15202  cprime 15607   pCnt cpc 15763
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-inf 8516  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-fl 12807  df-mod 12883  df-seq 13016  df-exp 13075  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-dvds 15203  df-gcd 15439  df-prm 15608  df-pc 15764
This theorem is referenced by:  pccl  15776  pcqmul  15780  pcqcl  15783  pcge0  15788  pcdvdsb  15795  pcdvdstr  15802  pcgcd1  15803  pc2dvds  15805  pcz  15807  pcaddlem  15814  pcadd  15815  qexpz  15827  lgsfcl2  25248  lgsdir  25277  lgsdi  25279  lgsne0  25280
  Copyright terms: Public domain W3C validator