Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcprod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcprod 15806
 Description: The product of the primes taken to their respective powers reconstructs the original number. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
pcprod.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
Assertion
Ref Expression
pcprod (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) = 𝑁)
Distinct variable group:   𝑛,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem pcprod
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcprod.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
2 pccl 15761 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑛 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
32ancoms 446 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (𝑛 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
43ralrimiva 3115 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑛 ∈ ℙ (𝑛 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
54adantl 467 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ∀𝑛 ∈ ℙ (𝑛 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
6 simpr 471 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
7 simpl 468 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℙ)
8 oveq1 6803 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑝 → (𝑛 pCnt 𝑁) = (𝑝 pCnt 𝑁))
91, 5, 6, 7, 8pcmpt 15803 . . . . 5 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) = if(𝑝𝑁, (𝑝 pCnt 𝑁), 0))
10 iftrue 4232 . . . . . . 7 (𝑝𝑁 → if(𝑝𝑁, (𝑝 pCnt 𝑁), 0) = (𝑝 pCnt 𝑁))
1110adantl 467 . . . . . 6 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑝𝑁) → if(𝑝𝑁, (𝑝 pCnt 𝑁), 0) = (𝑝 pCnt 𝑁))
12 iffalse 4235 . . . . . . . 8 𝑝𝑁 → if(𝑝𝑁, (𝑝 pCnt 𝑁), 0) = 0)
1312adantl 467 . . . . . . 7 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝𝑁) → if(𝑝𝑁, (𝑝 pCnt 𝑁), 0) = 0)
14 prmz 15596 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
15 dvdsle 15241 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑝𝑁𝑝𝑁))
1614, 15sylan 569 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑝𝑁𝑝𝑁))
1716con3dimp 395 . . . . . . . 8 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝𝑁) → ¬ 𝑝𝑁)
18 pceq0 15782 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt 𝑁) = 0 ↔ ¬ 𝑝𝑁))
1918adantr 466 . . . . . . . 8 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝𝑁) → ((𝑝 pCnt 𝑁) = 0 ↔ ¬ 𝑝𝑁))
2017, 19mpbird 247 . . . . . . 7 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝𝑁) → (𝑝 pCnt 𝑁) = 0)
2113, 20eqtr4d 2808 . . . . . 6 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝𝑁) → if(𝑝𝑁, (𝑝 pCnt 𝑁), 0) = (𝑝 pCnt 𝑁))
2211, 21pm2.61dan 814 . . . . 5 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → if(𝑝𝑁, (𝑝 pCnt 𝑁), 0) = (𝑝 pCnt 𝑁))
239, 22eqtrd 2805 . . . 4 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) = (𝑝 pCnt 𝑁))
2423ancoms 446 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) = (𝑝 pCnt 𝑁))
2524ralrimiva 3115 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) = (𝑝 pCnt 𝑁))
261, 4pcmptcl 15802 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ))
2726simprd 483 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ)
28 ffvelrn 6502 . . . . 5 ((seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℕ)
2927, 28mpancom 668 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℕ)
3029nnnn0d 11558 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℕ0)
31 nnnn0 11506 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
32 pc11 15791 . . 3 (((seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑁) = 𝑁 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) = (𝑝 pCnt 𝑁)))
3330, 31, 32syl2anc 573 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑁) = 𝑁 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) = (𝑝 pCnt 𝑁)))
3425, 33mpbird 247 1 (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) = 𝑁)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061  ifcif 4226   class class class wbr 4787   ↦ cmpt 4864  ⟶wf 6026  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796  0cc0 10142  1c1 10143   · cmul 10147   ≤ cle 10281  ℕcn 11226  ℕ0cn0 11499  ℤcz 11584  seqcseq 13008  ↑cexp 13067   ∥ cdvds 15189  ℙcprime 15592   pCnt cpc 15748 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8508  df-inf 8509  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-q 11997  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-dvds 15190  df-gcd 15425  df-prm 15593  df-pc 15749 This theorem is referenced by:  pclogsum  25161
 Copyright terms: Public domain W3C validator