MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcprendvds2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcprendvds2 15748
Description: Non-divisibility property of the prime power pre-function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pclem.1 𝐴 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑁}
pclem.2 𝑆 = sup(𝐴, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
pcprendvds2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃𝑆)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem pcprendvds2
StepHypRef Expression
1 pclem.1 . . 3 𝐴 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑁}
2 pclem.2 . . 3 𝑆 = sup(𝐴, ℝ, < )
31, 2pcprendvds 15747 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ (𝑃↑(𝑆 + 1)) ∥ 𝑁)
4 eluz2nn 11919 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 ∈ ℕ)
54adantr 472 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℕ)
65nnzd 11673 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℤ)
71, 2pcprecl 15746 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃𝑆) ∥ 𝑁))
87simprd 482 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃𝑆) ∥ 𝑁)
97simpld 477 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
105, 9nnexpcld 13224 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃𝑆) ∈ ℕ)
1110nnzd 11673 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃𝑆) ∈ ℤ)
1210nnne0d 11257 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃𝑆) ≠ 0)
13 simprl 811 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑁 ∈ ℤ)
14 dvdsval2 15185 . . . . . 6 (((𝑃𝑆) ∈ ℤ ∧ (𝑃𝑆) ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃𝑆) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝑃𝑆)) ∈ ℤ))
1511, 12, 13, 14syl3anc 1477 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃𝑆) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝑃𝑆)) ∈ ℤ))
168, 15mpbid 222 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑁 / (𝑃𝑆)) ∈ ℤ)
17 dvdscmul 15210 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / (𝑃𝑆)) ∈ ℤ ∧ (𝑃𝑆) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃𝑆)) → ((𝑃𝑆) · 𝑃) ∥ ((𝑃𝑆) · (𝑁 / (𝑃𝑆)))))
186, 16, 11, 17syl3anc 1477 . . 3 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃𝑆)) → ((𝑃𝑆) · 𝑃) ∥ ((𝑃𝑆) · (𝑁 / (𝑃𝑆)))))
195nncnd 11228 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℂ)
2019, 9expp1d 13203 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑆 + 1)) = ((𝑃𝑆) · 𝑃))
2120eqcomd 2766 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃𝑆) · 𝑃) = (𝑃↑(𝑆 + 1)))
22 zcn 11574 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2322ad2antrl 766 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑁 ∈ ℂ)
2410nncnd 11228 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃𝑆) ∈ ℂ)
2523, 24, 12divcan2d 10995 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃𝑆) · (𝑁 / (𝑃𝑆))) = 𝑁)
2621, 25breq12d 4817 . . 3 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((𝑃𝑆) · 𝑃) ∥ ((𝑃𝑆) · (𝑁 / (𝑃𝑆))) ↔ (𝑃↑(𝑆 + 1)) ∥ 𝑁))
2718, 26sylibd 229 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃𝑆)) → (𝑃↑(𝑆 + 1)) ∥ 𝑁))
283, 27mtod 189 1 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  {crab 3054   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6813  supcsup 8511  cc 10126  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133   < clt 10266   / cdiv 10876  cn 11212  2c2 11262  0cn0 11484  cz 11569  cuz 11879  cexp 13054  cdvds 15182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-fl 12787  df-seq 12996  df-exp 13055  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-dvds 15183
This theorem is referenced by:  pcpremul  15750  pczndvds2  15773
  Copyright terms: Public domain W3C validator