Theorem pcoval 23030

Description: The concatenation of two paths. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcoval.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoval.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))

Assertion

Ref	Expression
pcoval	⊢ (𝜑 → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑥,𝐽

Proof of Theorem pcoval

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcoval.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
2		pcoval.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
3		fveq1 6331	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘(2 · 𝑥)) = (𝐹‘(2 · 𝑥)))
4	3	adantr 466	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (𝑓‘(2 · 𝑥)) = (𝐹‘(2 · 𝑥)))
5		fveq1 6331	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑔‘((2 · 𝑥) − 1)) = (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))
6	5	adantl 467	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (𝑔‘((2 · 𝑥) − 1)) = (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))
7	4, 6	ifeq12d 4245	. . . 4 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝑓‘(2 · 𝑥)), (𝑔‘((2 · 𝑥) − 1))) = if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))
8	7	mpteq2dv 4879	. . 3 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝑓‘(2 · 𝑥)), (𝑔‘((2 · 𝑥) − 1)))) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))))
9		pcofval 23029	. . 3 ⊢ (*𝑝‘𝐽) = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽), 𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ↦ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝑓‘(2 · 𝑥)), (𝑔‘((2 · 𝑥) − 1)))))
10		ovex 6823	. . . 4 ⊢ (0[,]1) ∈ V
11	10	mptex 6630	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))) ∈ V
12	8, 9, 11	ovmpt2a 6938	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽)) → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))))
13	1, 2, 12	syl2anc 573	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ifcif 4225   class class class wbr 4786   ↦ cmpt 4863  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  0cc0 10138  1c1 10139   · cmul 10143   ≤ cle 10277   − cmin 10468   / cdiv 10886  2c2 11272  [,]cicc 12383   Cn ccn 21249  IIcii 22898  *_𝑝cpco 23019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-map 8011  df-top 20919  df-topon 20936  df-cn 21252  df-pco 23024

This theorem is referenced by:  pcovalg  23031  pco1  23034  pcocn  23036  copco  23037  pcopt  23041  pcopt2  23042  pcoass  23043