Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcorevcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcorevcl 23044
 Description: Closure for a reversed path. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pcorev.1 𝐺 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
Assertion
Ref Expression
pcorevcl (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐺‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝐺‘1) = (𝐹‘0)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐽
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem pcorevcl
StepHypRef Expression
1 pcorev.1 . . 3 𝐺 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
2 iitopon 22902 . . . . 5 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
32a1i 11 . . . 4 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
4 iirevcn 22949 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑥)) ∈ (II Cn II)
54a1i 11 . . . 4 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑥)) ∈ (II Cn II))
6 id 22 . . . 4 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
73, 5, 6cnmpt11f 21688 . . 3 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥))) ∈ (II Cn 𝐽))
81, 7syl5eqel 2854 . 2 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
9 0elunit 12497 . . 3 0 ∈ (0[,]1)
10 oveq2 6801 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (1 − 𝑥) = (1 − 0))
11 1m0e1 11333 . . . . . 6 (1 − 0) = 1
1210, 11syl6eq 2821 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (1 − 𝑥) = 1)
1312fveq2d 6336 . . . 4 (𝑥 = 0 → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘1))
14 fvex 6342 . . . 4 (𝐹‘1) ∈ V
1513, 1, 14fvmpt 6424 . . 3 (0 ∈ (0[,]1) → (𝐺‘0) = (𝐹‘1))
169, 15mp1i 13 . 2 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐺‘0) = (𝐹‘1))
17 1elunit 12498 . . 3 1 ∈ (0[,]1)
18 oveq2 6801 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → (1 − 𝑥) = (1 − 1))
19 1m1e0 11291 . . . . . 6 (1 − 1) = 0
2018, 19syl6eq 2821 . . . . 5 (𝑥 = 1 → (1 − 𝑥) = 0)
2120fveq2d 6336 . . . 4 (𝑥 = 1 → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘0))
22 fvex 6342 . . . 4 (𝐹‘0) ∈ V
2321, 1, 22fvmpt 6424 . . 3 (1 ∈ (0[,]1) → (𝐺‘1) = (𝐹‘0))
2417, 23mp1i 13 . 2 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐺‘1) = (𝐹‘0))
258, 16, 243jca 1122 1 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐺‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝐺‘1) = (𝐹‘0)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ↦ cmpt 4863  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  0cc0 10138  1c1 10139   − cmin 10468  [,]cicc 12383  TopOnctopon 20935   Cn ccn 21249  IIcii 22898 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-fi 8473  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mulg 17749  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-xms 22345  df-ms 22346  df-tms 22347  df-ii 22900 This theorem is referenced by:  pcorev2  23047  pcophtb  23048  pi1grplem  23068  pi1inv  23071  pi1xfr  23074  pi1xfrcnvlem  23075  pi1xfrcnv  23076  sconnpht2  31558
 Copyright terms: Public domain W3C validator