Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcopt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcopt 22868
 Description: Concatenation with a point does not affect homotopy class. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
pcopt.1 𝑃 = ((0[,]1) × {𝑌})
Assertion
Ref Expression
pcopt ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → (𝑃(*𝑝𝐽)𝐹)( ≃ph𝐽)𝐹)

Proof of Theorem pcopt
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcopt.1 . . . . . . . . . 10 𝑃 = ((0[,]1) × {𝑌})
21fveq1i 6230 . . . . . . . . 9 (𝑃‘(2 · 𝑥)) = (((0[,]1) × {𝑌})‘(2 · 𝑥))
3 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → (𝐹‘0) = 𝑌)
4 iiuni 22731 . . . . . . . . . . . . . 14 (0[,]1) = II
5 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐽 = 𝐽
64, 5cnf 21098 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐹:(0[,]1)⟶ 𝐽)
76adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → 𝐹:(0[,]1)⟶ 𝐽)
8 0elunit 12328 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ (0[,]1)
9 ffvelrn 6397 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:(0[,]1)⟶ 𝐽 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘0) ∈ 𝐽)
107, 8, 9sylancl 695 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → (𝐹‘0) ∈ 𝐽)
113, 10eqeltrrd 2731 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → 𝑌 𝐽)
12 elii1 22781 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)))
13 iihalf1 22777 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0[,](1 / 2)) → (2 · 𝑥) ∈ (0[,]1))
1412, 13sylbir 225 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → (2 · 𝑥) ∈ (0[,]1))
15 fvconst2g 6508 . . . . . . . . . 10 ((𝑌 𝐽 ∧ (2 · 𝑥) ∈ (0[,]1)) → (((0[,]1) × {𝑌})‘(2 · 𝑥)) = 𝑌)
1611, 14, 15syl2an 493 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2))) → (((0[,]1) × {𝑌})‘(2 · 𝑥)) = 𝑌)
172, 16syl5eq 2697 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2))) → (𝑃‘(2 · 𝑥)) = 𝑌)
18 simplr 807 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2))) → (𝐹‘0) = 𝑌)
1917, 18eqtr4d 2688 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2))) → (𝑃‘(2 · 𝑥)) = (𝐹‘0))
2019ifeq1d 4137 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2))) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝑃‘(2 · 𝑥)), (𝐹‘((2 · 𝑥) − 1))) = if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘0), (𝐹‘((2 · 𝑥) − 1))))
2120expr 642 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑥 ≤ (1 / 2) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝑃‘(2 · 𝑥)), (𝐹‘((2 · 𝑥) − 1))) = if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘0), (𝐹‘((2 · 𝑥) − 1)))))
22 iffalse 4128 . . . . . 6 𝑥 ≤ (1 / 2) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝑃‘(2 · 𝑥)), (𝐹‘((2 · 𝑥) − 1))) = (𝐹‘((2 · 𝑥) − 1)))
23 iffalse 4128 . . . . . 6 𝑥 ≤ (1 / 2) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘0), (𝐹‘((2 · 𝑥) − 1))) = (𝐹‘((2 · 𝑥) − 1)))
2422, 23eqtr4d 2688 . . . . 5 𝑥 ≤ (1 / 2) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝑃‘(2 · 𝑥)), (𝐹‘((2 · 𝑥) − 1))) = if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘0), (𝐹‘((2 · 𝑥) − 1))))
2521, 24pm2.61d1 171 . . . 4 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝑃‘(2 · 𝑥)), (𝐹‘((2 · 𝑥) − 1))) = if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘0), (𝐹‘((2 · 𝑥) − 1))))
2625mpteq2dva 4777 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝑃‘(2 · 𝑥)), (𝐹‘((2 · 𝑥) − 1)))) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘0), (𝐹‘((2 · 𝑥) − 1)))))
27 cntop2 21093 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
2827adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → 𝐽 ∈ Top)
295toptopon 20770 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
3028, 29sylib 208 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
311pcoptcl 22867 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) ∧ 𝑌 𝐽) → (𝑃 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑃‘0) = 𝑌 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌))
3230, 11, 31syl2anc 694 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → (𝑃 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑃‘0) = 𝑌 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌))
3332simp1d 1093 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → 𝑃 ∈ (II Cn 𝐽))
34 simpl 472 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
3533, 34pcoval 22857 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → (𝑃(*𝑝𝐽)𝐹) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝑃‘(2 · 𝑥)), (𝐹‘((2 · 𝑥) − 1)))))
36 iffalse 4128 . . . . . . . . 9 𝑥 ≤ (1 / 2) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)) = ((2 · 𝑥) − 1))
3736adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)) = ((2 · 𝑥) − 1))
38 elii2 22782 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → 𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1))
39 iihalf2 22779 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) → ((2 · 𝑥) − 1) ∈ (0[,]1))
4038, 39syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → ((2 · 𝑥) − 1) ∈ (0[,]1))
4137, 40eqeltrd 2730 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)) ∈ (0[,]1))
4241ex 449 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0[,]1) → (¬ 𝑥 ≤ (1 / 2) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)) ∈ (0[,]1)))
43 iftrue 4125 . . . . . . 7 (𝑥 ≤ (1 / 2) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)) = 0)
4443, 8syl6eqel 2738 . . . . . 6 (𝑥 ≤ (1 / 2) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)) ∈ (0[,]1))
4542, 44pm2.61d2 172 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0[,]1) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)) ∈ (0[,]1))
4645adantl 481 . . . 4 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)) ∈ (0[,]1))
47 eqid 2651 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1))) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)))
4847a1i 11 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1))) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1))))
497feqmptd 6288 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → 𝐹 = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹𝑦)))
50 fveq2 6229 . . . . 5 (𝑦 = if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1))))
51 fvif 6242 . . . . 5 (𝐹‘if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1))) = if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘0), (𝐹‘((2 · 𝑥) − 1)))
5250, 51syl6eq 2701 . . . 4 (𝑦 = if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)) → (𝐹𝑦) = if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘0), (𝐹‘((2 · 𝑥) − 1))))
5346, 48, 49, 52fmptco 6436 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → (𝐹 ∘ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)))) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘0), (𝐹‘((2 · 𝑥) − 1)))))
5426, 35, 533eqtr4d 2695 . 2 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → (𝑃(*𝑝𝐽)𝐹) = (𝐹 ∘ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)))))
55 iitopon 22729 . . . . 5 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
5655a1i 11 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
5756cnmptid 21512 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑥) ∈ (II Cn II))
588a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → 0 ∈ (0[,]1))
5956, 56, 58cnmptc 21513 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ 0) ∈ (II Cn II))
60 eqid 2651 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
61 eqid 2651 . . . . 5 ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2)))
62 eqid 2651 . . . . 5 ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1))
63 dfii2 22732 . . . . 5 II = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))
64 0re 10078 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
6564a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → 0 ∈ ℝ)
66 1re 10077 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
6766a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → 1 ∈ ℝ)
68 halfre 11284 . . . . . . 7 (1 / 2) ∈ ℝ
69 halfgt0 11286 . . . . . . . 8 0 < (1 / 2)
7064, 68, 69ltleii 10198 . . . . . . 7 0 ≤ (1 / 2)
71 halflt1 11288 . . . . . . . 8 (1 / 2) < 1
7268, 66, 71ltleii 10198 . . . . . . 7 (1 / 2) ≤ 1
7364, 66elicc2i 12277 . . . . . . 7 ((1 / 2) ∈ (0[,]1) ↔ ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) ≤ 1))
7468, 70, 72, 73mpbir3an 1263 . . . . . 6 (1 / 2) ∈ (0[,]1)
7574a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → (1 / 2) ∈ (0[,]1))
76 simprl 809 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → 𝑦 = (1 / 2))
7776oveq2d 6706 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → (2 · 𝑦) = (2 · (1 / 2)))
78 2cn 11129 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
79 2ne0 11151 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
8078, 79recidi 10794 . . . . . . . 8 (2 · (1 / 2)) = 1
8177, 80syl6eq 2701 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → (2 · 𝑦) = 1)
8281oveq1d 6705 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → ((2 · 𝑦) − 1) = (1 − 1))
83 1m1e0 11127 . . . . . 6 (1 − 1) = 0
8482, 83syl6req 2702 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → 0 = ((2 · 𝑦) − 1))
85 retopon 22614 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
86 iccssre 12293 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ)
8764, 68, 86mp2an 708 . . . . . . . 8 (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ
88 resttopon 21013 . . . . . . . 8 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2))))
8985, 87, 88mp2an 708 . . . . . . 7 ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2)))
9089a1i 11 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2))))
9190, 56, 56, 58cnmpt2c 21521 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → (𝑦 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ 0) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t II) Cn II))
92 iccssre 12293 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ)
9368, 66, 92mp2an 708 . . . . . . . 8 ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ
94 resttopon 21013 . . . . . . . 8 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1)))
9585, 93, 94mp2an 708 . . . . . . 7 ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1))
9695a1i 11 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1)))
9796, 56cnmpt1st 21519 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → (𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑦) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1))))
9862iihalf2cn 22780 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↦ ((2 · 𝑥) − 1)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) Cn II)
9998a1i 11 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↦ ((2 · 𝑥) − 1)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) Cn II))
100 oveq2 6698 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑦))
101100oveq1d 6705 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((2 · 𝑥) − 1) = ((2 · 𝑦) − 1))
10296, 56, 97, 96, 99, 101cnmpt21 21522 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → (𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ ((2 · 𝑦) − 1)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn II))
10360, 61, 62, 63, 65, 67, 75, 56, 84, 91, 102cnmpt2pc 22774 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → (𝑦 ∈ (0[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑦 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑦) − 1))) ∈ ((II ×t II) Cn II))
104 breq1 4688 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ≤ (1 / 2) ↔ 𝑥 ≤ (1 / 2)))
105 oveq2 6698 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (2 · 𝑦) = (2 · 𝑥))
106105oveq1d 6705 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → ((2 · 𝑦) − 1) = ((2 · 𝑥) − 1))
107104, 106ifbieq2d 4144 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → if(𝑦 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑦) − 1)) = if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)))
108107adantr 480 . . . 4 ((𝑦 = 𝑥𝑧 = 0) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑦) − 1)) = if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)))
10956, 57, 59, 56, 56, 103, 108cnmpt12 21518 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1))) ∈ (II Cn II))
110 id 22 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → 𝑥 = 0)
111110, 70syl6eqbr 4724 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → 𝑥 ≤ (1 / 2))
112111, 43syl 17 . . . . 5 (𝑥 = 0 → if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)) = 0)
113 c0ex 10072 . . . . 5 0 ∈ V
114112, 47, 113fvmpt 6321 . . . 4 (0 ∈ (0[,]1) → ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)))‘0) = 0)
1158, 114mp1i 13 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)))‘0) = 0)
116 1elunit 12329 . . . 4 1 ∈ (0[,]1)
11768, 66ltnlei 10196 . . . . . . . . 9 ((1 / 2) < 1 ↔ ¬ 1 ≤ (1 / 2))
11871, 117mpbi 220 . . . . . . . 8 ¬ 1 ≤ (1 / 2)
119 breq1 4688 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → (𝑥 ≤ (1 / 2) ↔ 1 ≤ (1 / 2)))
120118, 119mtbiri 316 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2))
121120, 36syl 17 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)) = ((2 · 𝑥) − 1))
122 oveq2 6698 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 1 → (2 · 𝑥) = (2 · 1))
123 2t1e2 11214 . . . . . . . . 9 (2 · 1) = 2
124122, 123syl6eq 2701 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → (2 · 𝑥) = 2)
125124oveq1d 6705 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → ((2 · 𝑥) − 1) = (2 − 1))
126 2m1e1 11173 . . . . . . 7 (2 − 1) = 1
127125, 126syl6eq 2701 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → ((2 · 𝑥) − 1) = 1)
128121, 127eqtrd 2685 . . . . 5 (𝑥 = 1 → if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)) = 1)
129 1ex 10073 . . . . 5 1 ∈ V
130128, 47, 129fvmpt 6321 . . . 4 (1 ∈ (0[,]1) → ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)))‘1) = 1)
131116, 130mp1i 13 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1)))‘1) = 1)
13234, 109, 115, 131reparpht 22844 . 2 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → (𝐹 ∘ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), 0, ((2 · 𝑥) − 1))))( ≃ph𝐽)𝐹)
13354, 132eqbrtrd 4707 1 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌) → (𝑃(*𝑝𝐽)𝐹)( ≃ph𝐽)𝐹)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ⊆ wss 3607  ifcif 4119  {csn 4210  ∪ cuni 4468   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762   × cxp 5141  ran crn 5144   ∘ ccom 5147  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979   < clt 10112   ≤ cle 10113   − cmin 10304   / cdiv 10722  2c2 11108  (,)cioo 12213  [,]cicc 12216   ↾t crest 16128  topGenctg 16145  Topctop 20746  TopOnctopon 20763   Cn ccn 21076  IIcii 22725   ≃phcphtpc 22815  *𝑝cpco 22846 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-ii 22727  df-htpy 22816  df-phtpy 22817  df-phtpc 22838  df-pco 22851 This theorem is referenced by:  pcophtb  22875  pi1grplem  22895  pi1xfr  22901  pi1xfrcnvlem  22902
 Copyright terms: Public domain W3C validator