Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pconnpi1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pconnpi1 31557
Description: All fundamental groups in a path-connected space are isomorphic. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pconnpi1.x 𝑋 = 𝐽
pconnpi1.p 𝑃 = (𝐽 π1 𝐴)
pconnpi1.q 𝑄 = (𝐽 π1 𝐵)
pconnpi1.s 𝑆 = (Base‘𝑃)
pconnpi1.t 𝑇 = (Base‘𝑄)
Assertion
Ref Expression
pconnpi1 ((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝑃𝑔 𝑄)

Proof of Theorem pconnpi1
Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pconnpi1.x . . 3 𝑋 = 𝐽
21pconncn 31544 . 2 ((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))
3 eqid 2771 . . . . 5 (𝐽 π1 (𝑓‘0)) = (𝐽 π1 (𝑓‘0))
4 eqid 2771 . . . . 5 (𝐽 π1 (𝑓‘1)) = (𝐽 π1 (𝑓‘1))
5 eqid 2771 . . . . 5 (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) = (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0)))
6 eqid 2771 . . . . 5 ran ( (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘(1 − 𝑥)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝑓))]( ≃ph𝐽)⟩) = ran ( (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘(1 − 𝑥)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝑓))]( ≃ph𝐽)⟩)
7 simpl1 1227 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → 𝐽 ∈ PConn)
8 pconntop 31545 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ PConn → 𝐽 ∈ Top)
97, 8syl 17 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → 𝐽 ∈ Top)
101toptopon 20942 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
119, 10sylib 208 . . . . 5 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
12 simprl 754 . . . . 5 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽))
13 oveq2 6801 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (1 − 𝑥) = (1 − 𝑦))
1413fveq2d 6336 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑓‘(1 − 𝑥)) = (𝑓‘(1 − 𝑦)))
1514cbvmptv 4884 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘(1 − 𝑥))) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘(1 − 𝑦)))
163, 4, 5, 6, 11, 12, 15pi1xfrgim 23077 . . . 4 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → ran ( (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘(1 − 𝑥)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝑓))]( ≃ph𝐽)⟩) ∈ ((𝐽 π1 (𝑓‘0)) GrpIso (𝐽 π1 (𝑓‘1))))
17 simprrl 766 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → (𝑓‘0) = 𝐴)
1817oveq2d 6809 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → (𝐽 π1 (𝑓‘0)) = (𝐽 π1 𝐴))
19 pconnpi1.p . . . . . 6 𝑃 = (𝐽 π1 𝐴)
2018, 19syl6eqr 2823 . . . . 5 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → (𝐽 π1 (𝑓‘0)) = 𝑃)
21 simprrr 767 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → (𝑓‘1) = 𝐵)
2221oveq2d 6809 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → (𝐽 π1 (𝑓‘1)) = (𝐽 π1 𝐵))
23 pconnpi1.q . . . . . 6 𝑄 = (𝐽 π1 𝐵)
2422, 23syl6eqr 2823 . . . . 5 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → (𝐽 π1 (𝑓‘1)) = 𝑄)
2520, 24oveq12d 6811 . . . 4 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → ((𝐽 π1 (𝑓‘0)) GrpIso (𝐽 π1 (𝑓‘1))) = (𝑃 GrpIso 𝑄))
2616, 25eleqtrd 2852 . . 3 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → ran ( (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘(1 − 𝑥)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝑓))]( ≃ph𝐽)⟩) ∈ (𝑃 GrpIso 𝑄))
27 brgici 17920 . . 3 (ran ( (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘(1 − 𝑥)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝑓))]( ≃ph𝐽)⟩) ∈ (𝑃 GrpIso 𝑄) → 𝑃𝑔 𝑄)
2826, 27syl 17 . 2 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → 𝑃𝑔 𝑄)
292, 28rexlimddv 3183 1 ((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝑃𝑔 𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  cop 4322   cuni 4574   class class class wbr 4786  cmpt 4863  ran crn 5250  cfv 6031  (class class class)co 6793  [cec 7894  0cc0 10138  1c1 10139  cmin 10468  [,]cicc 12383  Basecbs 16064   GrpIso cgim 17907  𝑔 cgic 17908  Topctop 20918  TopOnctopon 20935   Cn ccn 21249  IIcii 22898  phcphtpc 22988  *𝑝cpco 23019   π1 cpi1 23022  PConncpconn 31539
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-ec 7898  df-qs 7902  df-map 8011  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-fi 8473  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-qus 16377  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-mulg 17749  df-ghm 17866  df-gim 17909  df-gic 17910  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cld 21044  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-xms 22345  df-ms 22346  df-tms 22347  df-ii 22900  df-htpy 22989  df-phtpy 22990  df-phtpc 23011  df-pco 23024  df-om1 23025  df-pi1 23027  df-pconn 31541
This theorem is referenced by:  sconnpi1  31559
  Copyright terms: Public domain W3C validator