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Theorem pcoass 23024
Description: Order of concatenation does not affect homotopy class. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 8-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcoass.2 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoass.3 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoass.4 (𝜑𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoass.5 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
pcoass.6 (𝜑 → (𝐺‘1) = (𝐻‘0))
pcoass.7 𝑃 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2))))
Assertion
Ref Expression
pcoass (𝜑 → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)(𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻   𝑥,𝐽   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝑃(𝑥)

Proof of Theorem pcoass
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iftrue 4236 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ≤ (1 / 4) → if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))) = (2 · 𝑥))
21fveq2d 6356 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ≤ (1 / 4) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4)))) = ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘(2 · 𝑥)))
32adantl 473 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4)))) = ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘(2 · 𝑥)))
4 2cn 11283 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℂ
5 0re 10232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ ℝ
6 1re 10231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℝ
75, 6elicc2i 12432 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1))
87simp1bi 1140 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (0[,]1) → 𝑥 ∈ ℝ)
98adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → 𝑥 ∈ ℝ)
109recnd 10260 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → 𝑥 ∈ ℂ)
11 mulcom 10214 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (2 · 𝑥) = (𝑥 · 2))
124, 10, 11sylancr 698 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → (2 · 𝑥) = (𝑥 · 2))
137simp2bi 1141 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (0[,]1) → 0 ≤ 𝑥)
1413adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → 0 ≤ 𝑥)
15 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → 𝑥 ≤ (1 / 4))
16 4nn 11379 . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 ∈ ℕ
17 nnrecre 11249 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (4 ∈ ℕ → (1 / 4) ∈ ℝ)
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 / 4) ∈ ℝ
195, 18elicc2i 12432 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (0[,](1 / 4)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ (1 / 4)))
209, 14, 15, 19syl3anbrc 1429 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → 𝑥 ∈ (0[,](1 / 4)))
21 2rp 12030 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ+
224mul02i 10417 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 · 2) = 0
2318recni 10244 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 / 4) ∈ ℂ
24232timesi 11339 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · (1 / 4)) = ((1 / 4) + (1 / 4))
25 2ne0 11305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ≠ 0
26 recdiv2 10930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((1 / 2) / 2) = (1 / (2 · 2)))
274, 25, 4, 25, 26mp4an 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1 / 2) / 2) = (1 / (2 · 2))
28 2t2e4 11369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (2 · 2) = 4
2928oveq2i 6824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 / (2 · 2)) = (1 / 4)
3027, 29eqtri 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 / 2) / 2) = (1 / 4)
3130, 30oveq12i 6825 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((1 / 2) / 2) + ((1 / 2) / 2)) = ((1 / 4) + (1 / 4))
32 halfcn 11439 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 / 2) ∈ ℂ
33 2halves 11452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 / 2) ∈ ℂ → (((1 / 2) / 2) + ((1 / 2) / 2)) = (1 / 2))
3432, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((1 / 2) / 2) + ((1 / 2) / 2)) = (1 / 2)
3531, 34eqtr3i 2784 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 / 4) + (1 / 4)) = (1 / 2)
3624, 35eqtri 2782 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 · (1 / 4)) = (1 / 2)
374, 23, 36mulcomli 10239 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 / 4) · 2) = (1 / 2)
385, 18, 21, 22, 37iccdili 12504 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0[,](1 / 4)) → (𝑥 · 2) ∈ (0[,](1 / 2)))
3920, 38syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → (𝑥 · 2) ∈ (0[,](1 / 2)))
4012, 39eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → (2 · 𝑥) ∈ (0[,](1 / 2)))
41 pcoass.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
42 pcoass.3 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
43 pcoass.4 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
44 pcoass.6 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐺‘1) = (𝐻‘0))
4542, 43, 44pcocn 23017 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐺(*𝑝𝐽)𝐻) ∈ (II Cn 𝐽))
4641, 45pcoval1 23013 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (2 · 𝑥) ∈ (0[,](1 / 2))) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘(2 · 𝑥)) = (𝐹‘(2 · (2 · 𝑥))))
4741, 42pcoval1 23013 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (2 · 𝑥) ∈ (0[,](1 / 2))) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘(2 · 𝑥)) = (𝐹‘(2 · (2 · 𝑥))))
4846, 47eqtr4d 2797 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (2 · 𝑥) ∈ (0[,](1 / 2))) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘(2 · 𝑥)) = ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘(2 · 𝑥)))
4940, 48sylan2 492 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 4))) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘(2 · 𝑥)) = ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘(2 · 𝑥)))
5049anassrs 683 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘(2 · 𝑥)) = ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘(2 · 𝑥)))
513, 50eqtrd 2794 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4)))) = ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘(2 · 𝑥)))
5251adantlr 753 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4)))) = ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘(2 · 𝑥)))
53 simplll 815 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → 𝜑)
548ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → 𝑥 ∈ ℝ)
5554adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → 𝑥 ∈ ℝ)
56 letric 10329 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (1 / 4) ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ (1 / 4) ∨ (1 / 4) ≤ 𝑥))
5754, 18, 56sylancl 697 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → (𝑥 ≤ (1 / 4) ∨ (1 / 4) ≤ 𝑥))
5857orcanai 990 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → (1 / 4) ≤ 𝑥)
59 simplr 809 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → 𝑥 ≤ (1 / 2))
60 halfre 11438 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 2) ∈ ℝ
6118, 60elicc2i 12432 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ((1 / 4)[,](1 / 2)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (1 / 4) ≤ 𝑥𝑥 ≤ (1 / 2)))
6255, 58, 59, 61syl3anbrc 1429 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → 𝑥 ∈ ((1 / 4)[,](1 / 2)))
6361simp1bi 1140 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ((1 / 4)[,](1 / 2)) → 𝑥 ∈ ℝ)
64 readdcl 10211 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (1 / 4) ∈ ℝ) → (𝑥 + (1 / 4)) ∈ ℝ)
6563, 18, 64sylancl 697 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ((1 / 4)[,](1 / 2)) → (𝑥 + (1 / 4)) ∈ ℝ)
6618a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ((1 / 4)[,](1 / 2)) → (1 / 4) ∈ ℝ)
6761simp2bi 1141 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ((1 / 4)[,](1 / 2)) → (1 / 4) ≤ 𝑥)
6866, 63, 66, 67leadd1dd 10833 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ((1 / 4)[,](1 / 2)) → ((1 / 4) + (1 / 4)) ≤ (𝑥 + (1 / 4)))
6935, 68syl5eqbrr 4840 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ((1 / 4)[,](1 / 2)) → (1 / 2) ≤ (𝑥 + (1 / 4)))
7060a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ((1 / 4)[,](1 / 2)) → (1 / 2) ∈ ℝ)
7161simp3bi 1142 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ((1 / 4)[,](1 / 2)) → 𝑥 ≤ (1 / 2))
72 2lt4 11390 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 < 4
73 2re 11282 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℝ
74 4re 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4 ∈ ℝ
75 2pos 11304 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 < 2
76 4pos 11308 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 < 4
7773, 74, 75, 76ltrecii 11132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 < 4 ↔ (1 / 4) < (1 / 2))
7872, 77mpbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 / 4) < (1 / 2)
7918, 60, 78ltleii 10352 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 / 4) ≤ (1 / 2)
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ((1 / 4)[,](1 / 2)) → (1 / 4) ≤ (1 / 2))
8163, 66, 70, 70, 71, 80le2addd 10838 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ((1 / 4)[,](1 / 2)) → (𝑥 + (1 / 4)) ≤ ((1 / 2) + (1 / 2)))
82 ax-1cn 10186 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
83 2halves 11452 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 ∈ ℂ → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
8482, 83ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
8581, 84syl6breq 4845 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ((1 / 4)[,](1 / 2)) → (𝑥 + (1 / 4)) ≤ 1)
8660, 6elicc2i 12432 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 + (1 / 4)) ∈ ((1 / 2)[,]1) ↔ ((𝑥 + (1 / 4)) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ≤ (𝑥 + (1 / 4)) ∧ (𝑥 + (1 / 4)) ≤ 1))
8765, 69, 85, 86syl3anbrc 1429 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ((1 / 4)[,](1 / 2)) → (𝑥 + (1 / 4)) ∈ ((1 / 2)[,]1))
8862, 87syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → (𝑥 + (1 / 4)) ∈ ((1 / 2)[,]1))
89 pcoass.5 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
9042, 43pco0 23014 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)‘0) = (𝐺‘0))
9189, 90eqtr4d 2797 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹‘1) = ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)‘0))
9241, 45, 91pcoval2 23016 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 + (1 / 4)) ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘(𝑥 + (1 / 4))) = ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)‘((2 · (𝑥 + (1 / 4))) − 1)))
9353, 88, 92syl2anc 696 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘(𝑥 + (1 / 4))) = ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)‘((2 · (𝑥 + (1 / 4))) − 1)))
9484oveq2i 6824 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · (𝑥 + (1 / 4))) − ((1 / 2) + (1 / 2))) = ((2 · (𝑥 + (1 / 4))) − 1)
95 2cnd 11285 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → 2 ∈ ℂ)
9655recnd 10260 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → 𝑥 ∈ ℂ)
9723a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → (1 / 4) ∈ ℂ)
9895, 96, 97adddid 10256 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → (2 · (𝑥 + (1 / 4))) = ((2 · 𝑥) + (2 · (1 / 4))))
9936oveq2i 6824 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 𝑥) + (2 · (1 / 4))) = ((2 · 𝑥) + (1 / 2))
10098, 99syl6eq 2810 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → (2 · (𝑥 + (1 / 4))) = ((2 · 𝑥) + (1 / 2)))
101100oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → ((2 · (𝑥 + (1 / 4))) − ((1 / 2) + (1 / 2))) = (((2 · 𝑥) + (1 / 2)) − ((1 / 2) + (1 / 2))))
10294, 101syl5eqr 2808 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → ((2 · (𝑥 + (1 / 4))) − 1) = (((2 · 𝑥) + (1 / 2)) − ((1 / 2) + (1 / 2))))
103 remulcl 10213 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2 · 𝑥) ∈ ℝ)
10473, 55, 103sylancr 698 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → (2 · 𝑥) ∈ ℝ)
105104recnd 10260 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
10632a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → (1 / 2) ∈ ℂ)
107105, 106, 106pnpcan2d 10622 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → (((2 · 𝑥) + (1 / 2)) − ((1 / 2) + (1 / 2))) = ((2 · 𝑥) − (1 / 2)))
108102, 107eqtrd 2794 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → ((2 · (𝑥 + (1 / 4))) − 1) = ((2 · 𝑥) − (1 / 2)))
109108fveq2d 6356 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)‘((2 · (𝑥 + (1 / 4))) − 1)) = ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)‘((2 · 𝑥) − (1 / 2))))
1104, 96, 11sylancr 698 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → (2 · 𝑥) = (𝑥 · 2))
11182, 4, 25divcan1i 10961 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 / 2) · 2) = 1
11218, 60, 21, 37, 111iccdili 12504 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ((1 / 4)[,](1 / 2)) → (𝑥 · 2) ∈ ((1 / 2)[,]1))
11362, 112syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → (𝑥 · 2) ∈ ((1 / 2)[,]1))
114110, 113eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → (2 · 𝑥) ∈ ((1 / 2)[,]1))
11532subidi 10544 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 / 2) − (1 / 2)) = 0
116 1mhlfehlf 11443 . . . . . . . . . . . . 13 (1 − (1 / 2)) = (1 / 2)
11760, 6, 60, 115, 116iccshftli 12502 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 𝑥) ∈ ((1 / 2)[,]1) → ((2 · 𝑥) − (1 / 2)) ∈ (0[,](1 / 2)))
118114, 117syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → ((2 · 𝑥) − (1 / 2)) ∈ (0[,](1 / 2)))
11942, 43pcoval1 23013 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((2 · 𝑥) − (1 / 2)) ∈ (0[,](1 / 2))) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)‘((2 · 𝑥) − (1 / 2))) = (𝐺‘(2 · ((2 · 𝑥) − (1 / 2)))))
12053, 118, 119syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)‘((2 · 𝑥) − (1 / 2))) = (𝐺‘(2 · ((2 · 𝑥) − (1 / 2)))))
12195, 105, 106subdid 10678 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → (2 · ((2 · 𝑥) − (1 / 2))) = ((2 · (2 · 𝑥)) − (2 · (1 / 2))))
1224, 25recidi 10948 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · (1 / 2)) = 1
123122oveq2i 6824 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · (2 · 𝑥)) − (2 · (1 / 2))) = ((2 · (2 · 𝑥)) − 1)
124121, 123syl6eq 2810 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → (2 · ((2 · 𝑥) − (1 / 2))) = ((2 · (2 · 𝑥)) − 1))
125124fveq2d 6356 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → (𝐺‘(2 · ((2 · 𝑥) − (1 / 2)))) = (𝐺‘((2 · (2 · 𝑥)) − 1)))
126120, 125eqtrd 2794 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)‘((2 · 𝑥) − (1 / 2))) = (𝐺‘((2 · (2 · 𝑥)) − 1)))
12793, 109, 1263eqtrd 2798 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘(𝑥 + (1 / 4))) = (𝐺‘((2 · (2 · 𝑥)) − 1)))
128 iffalse 4239 . . . . . . . . . 10 𝑥 ≤ (1 / 4) → if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))) = (𝑥 + (1 / 4)))
129128fveq2d 6356 . . . . . . . . 9 𝑥 ≤ (1 / 4) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4)))) = ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘(𝑥 + (1 / 4))))
130129adantl 473 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4)))) = ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘(𝑥 + (1 / 4))))
13141, 42, 89pcoval2 23016 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (2 · 𝑥) ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘(2 · 𝑥)) = (𝐺‘((2 · (2 · 𝑥)) − 1)))
13253, 114, 131syl2anc 696 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘(2 · 𝑥)) = (𝐺‘((2 · (2 · 𝑥)) − 1)))
133127, 130, 1323eqtr4d 2804 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4)))) = ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘(2 · 𝑥)))
13452, 133pm2.61dan 867 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4)))) = ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘(2 · 𝑥)))
135 iftrue 4236 . . . . . . . 8 (𝑥 ≤ (1 / 2) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2))) = if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))))
136135fveq2d 6356 . . . . . . 7 (𝑥 ≤ (1 / 2) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2)))) = ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4)))))
137136adantl 473 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2)))) = ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4)))))
138 iftrue 4236 . . . . . . 7 (𝑥 ≤ (1 / 2) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘(2 · 𝑥)), (𝐻‘((2 · 𝑥) − 1))) = ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘(2 · 𝑥)))
139138adantl 473 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘(2 · 𝑥)), (𝐻‘((2 · 𝑥) − 1))) = ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘(2 · 𝑥)))
140134, 137, 1393eqtr4d 2804 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2)))) = if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘(2 · 𝑥)), (𝐻‘((2 · 𝑥) − 1))))
141 elii2 22936 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → 𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1))
142 halfgt0 11440 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < (1 / 2)
1435, 60, 142ltleii 10352 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ (1 / 2)
144 halflt1 11442 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 / 2) < 1
14560, 6, 144ltleii 10352 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 / 2) ≤ 1
1465, 6elicc2i 12432 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 / 2) ∈ (0[,]1) ↔ ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) ≤ 1))
14760, 143, 145, 146mpbir3an 1427 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 2) ∈ (0[,]1)
148 1elunit 12484 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ (0[,]1)
149 iccss2 12437 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 / 2) ∈ (0[,]1) ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → ((1 / 2)[,]1) ⊆ (0[,]1))
150147, 148, 149mp2an 710 . . . . . . . . . . . 12 ((1 / 2)[,]1) ⊆ (0[,]1)
151150sseli 3740 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) → 𝑥 ∈ (0[,]1))
1524, 25div0i 10951 . . . . . . . . . . . 12 (0 / 2) = 0
153 eqid 2760 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 2) = (1 / 2)
1545, 6, 21, 152, 153icccntri 12506 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0[,]1) → (𝑥 / 2) ∈ (0[,](1 / 2)))
15532addid2i 10416 . . . . . . . . . . . 12 (0 + (1 / 2)) = (1 / 2)
1565, 60, 60, 155, 84iccshftri 12500 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 / 2) ∈ (0[,](1 / 2)) → ((𝑥 / 2) + (1 / 2)) ∈ ((1 / 2)[,]1))
157151, 154, 1563syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) → ((𝑥 / 2) + (1 / 2)) ∈ ((1 / 2)[,]1))
15841, 45, 91pcoval2 23016 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥 / 2) + (1 / 2)) ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘((𝑥 / 2) + (1 / 2))) = ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)‘((2 · ((𝑥 / 2) + (1 / 2))) − 1)))
159157, 158sylan2 492 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘((𝑥 / 2) + (1 / 2))) = ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)‘((2 · ((𝑥 / 2) + (1 / 2))) − 1)))
16060, 6elicc2i 12432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1))
161160simp1bi 1140 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) → 𝑥 ∈ ℝ)
162161recnd 10260 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) → 𝑥 ∈ ℂ)
16382a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) → 1 ∈ ℂ)
164 2cnd 11285 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) → 2 ∈ ℂ)
16525a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) → 2 ≠ 0)
166162, 163, 164, 165divdird 11031 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) → ((𝑥 + 1) / 2) = ((𝑥 / 2) + (1 / 2)))
167166oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) → (2 · ((𝑥 + 1) / 2)) = (2 · ((𝑥 / 2) + (1 / 2))))
168 peano2cn 10400 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 + 1) ∈ ℂ)
169162, 168syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) → (𝑥 + 1) ∈ ℂ)
170169, 164, 165divcan2d 10995 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) → (2 · ((𝑥 + 1) / 2)) = (𝑥 + 1))
171167, 170eqtr3d 2796 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) → (2 · ((𝑥 / 2) + (1 / 2))) = (𝑥 + 1))
172171oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) → ((2 · ((𝑥 / 2) + (1 / 2))) − 1) = ((𝑥 + 1) − 1))
173 pncan 10479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 1) − 1) = 𝑥)
174162, 82, 173sylancl 697 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) → ((𝑥 + 1) − 1) = 𝑥)
175172, 174eqtrd 2794 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) → ((2 · ((𝑥 / 2) + (1 / 2))) − 1) = 𝑥)
176175fveq2d 6356 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)‘((2 · ((𝑥 / 2) + (1 / 2))) − 1)) = ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)‘𝑥))
177176adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)‘((2 · ((𝑥 / 2) + (1 / 2))) − 1)) = ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)‘𝑥))
17842, 43, 44pcoval2 23016 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)‘𝑥) = (𝐻‘((2 · 𝑥) − 1)))
179159, 177, 1783eqtrd 2798 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘((𝑥 / 2) + (1 / 2))) = (𝐻‘((2 · 𝑥) − 1)))
180141, 179sylan2 492 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2))) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘((𝑥 / 2) + (1 / 2))) = (𝐻‘((2 · 𝑥) − 1)))
181180anassrs 683 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘((𝑥 / 2) + (1 / 2))) = (𝐻‘((2 · 𝑥) − 1)))
182 iffalse 4239 . . . . . . . 8 𝑥 ≤ (1 / 2) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2))) = ((𝑥 / 2) + (1 / 2)))
183182fveq2d 6356 . . . . . . 7 𝑥 ≤ (1 / 2) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2)))) = ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘((𝑥 / 2) + (1 / 2))))
184183adantl 473 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2)))) = ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘((𝑥 / 2) + (1 / 2))))
185 iffalse 4239 . . . . . . 7 𝑥 ≤ (1 / 2) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘(2 · 𝑥)), (𝐻‘((2 · 𝑥) − 1))) = (𝐻‘((2 · 𝑥) − 1)))
186185adantl 473 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘(2 · 𝑥)), (𝐻‘((2 · 𝑥) − 1))) = (𝐻‘((2 · 𝑥) − 1)))
187181, 184, 1863eqtr4d 2804 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2)))) = if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘(2 · 𝑥)), (𝐻‘((2 · 𝑥) − 1))))
188140, 187pm2.61dan 867 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2)))) = if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘(2 · 𝑥)), (𝐻‘((2 · 𝑥) − 1))))
189188mpteq2dva 4896 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2))))) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘(2 · 𝑥)), (𝐻‘((2 · 𝑥) − 1)))))
190 pcoass.7 . . . . . . 7 𝑃 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2))))
191 iitopon 22883 . . . . . . . . 9 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
192191a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
193192cnmptid 21666 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑥) ∈ (II Cn II))
194 0elunit 12483 . . . . . . . . . 10 0 ∈ (0[,]1)
195194a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ (0[,]1))
196192, 192, 195cnmptc 21667 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ 0) ∈ (II Cn II))
197 eqid 2760 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
198 eqid 2760 . . . . . . . . 9 ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2)))
199 eqid 2760 . . . . . . . . 9 ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1))
200 dfii2 22886 . . . . . . . . 9 II = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))
201 0red 10233 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
202 1red 10247 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
203147a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / 2) ∈ (0[,]1))
204 simprl 811 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → 𝑦 = (1 / 2))
205204oveq1d 6828 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → (𝑦 + (1 / 4)) = ((1 / 2) + (1 / 4)))
20632, 23addcomi 10419 . . . . . . . . . . 11 ((1 / 2) + (1 / 4)) = ((1 / 4) + (1 / 2))
207205, 206syl6eq 2810 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → (𝑦 + (1 / 4)) = ((1 / 4) + (1 / 2)))
20818, 60ltnlei 10350 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 / 4) < (1 / 2) ↔ ¬ (1 / 2) ≤ (1 / 4))
20978, 208mpbi 220 . . . . . . . . . . . 12 ¬ (1 / 2) ≤ (1 / 4)
210204breq1d 4814 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → (𝑦 ≤ (1 / 4) ↔ (1 / 2) ≤ (1 / 4)))
211209, 210mtbiri 316 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → ¬ 𝑦 ≤ (1 / 4))
212211iffalsed 4241 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → if(𝑦 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑦), (𝑦 + (1 / 4))) = (𝑦 + (1 / 4)))
213204oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → (𝑦 / 2) = ((1 / 2) / 2))
214213, 30syl6eq 2810 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → (𝑦 / 2) = (1 / 4))
215214oveq1d 6828 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → ((𝑦 / 2) + (1 / 2)) = ((1 / 4) + (1 / 2)))
216207, 212, 2153eqtr4d 2804 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → if(𝑦 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑦), (𝑦 + (1 / 4))) = ((𝑦 / 2) + (1 / 2)))
217 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 4))) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 4)))
218 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 4)[,](1 / 2))) = ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 4)[,](1 / 2)))
21960a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
22074, 76recgt0ii 11121 . . . . . . . . . . . . 13 0 < (1 / 4)
2215, 18, 220ltleii 10352 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ (1 / 4)
2225, 60elicc2i 12432 . . . . . . . . . . . 12 ((1 / 4) ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ ((1 / 4) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 4) ∧ (1 / 4) ≤ (1 / 2)))
22318, 221, 79, 222mpbir3an 1427 . . . . . . . . . . 11 (1 / 4) ∈ (0[,](1 / 2))
224223a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 / 4) ∈ (0[,](1 / 2)))
225 simprl 811 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 4) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → 𝑦 = (1 / 4))
226225oveq2d 6829 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 4) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → (2 · 𝑦) = (2 · (1 / 4)))
227225oveq1d 6828 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 4) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → (𝑦 + (1 / 4)) = ((1 / 4) + (1 / 4)))
22824, 226, 2273eqtr4a 2820 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 4) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → (2 · 𝑦) = (𝑦 + (1 / 4)))
229 retopon 22768 . . . . . . . . . . . . 13 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
230 0xr 10278 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ*
23160rexri 10289 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 / 2) ∈ ℝ*
232 lbicc2 12481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℝ* ∧ (1 / 2) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / 2)) → 0 ∈ (0[,](1 / 2)))
233230, 231, 143, 232mp3an 1573 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ (0[,](1 / 2))
234 iccss2 12437 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ (0[,](1 / 2)) ∧ (1 / 4) ∈ (0[,](1 / 2))) → (0[,](1 / 4)) ⊆ (0[,](1 / 2)))
235233, 223, 234mp2an 710 . . . . . . . . . . . . . 14 (0[,](1 / 4)) ⊆ (0[,](1 / 2))
236 iccssre 12448 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ)
2375, 60, 236mp2an 710 . . . . . . . . . . . . . 14 (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ
238235, 237sstri 3753 . . . . . . . . . . . . 13 (0[,](1 / 4)) ⊆ ℝ
239 resttopon 21167 . . . . . . . . . . . . 13 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (0[,](1 / 4)) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 4))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 4))))
240229, 238, 239mp2an 710 . . . . . . . . . . . 12 ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 4))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 4)))
241240a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 4))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 4))))
242241, 192cnmpt1st 21673 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑦 ∈ (0[,](1 / 4)), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑦) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 4))) ×t II) Cn ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 4)))))
243 retop 22766 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
244 ovex 6841 . . . . . . . . . . . . . 14 (0[,](1 / 2)) ∈ V
245 restabs 21171 . . . . . . . . . . . . . 14 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (0[,](1 / 4)) ⊆ (0[,](1 / 2)) ∧ (0[,](1 / 2)) ∈ V) → (((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ↾t (0[,](1 / 4))) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 4))))
246243, 235, 244, 245mp3an 1573 . . . . . . . . . . . . 13 (((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ↾t (0[,](1 / 4))) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 4)))
247246eqcomi 2769 . . . . . . . . . . . 12 ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 4))) = (((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ↾t (0[,](1 / 4)))
248 resttopon 21167 . . . . . . . . . . . . . 14 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2))))
249229, 237, 248mp2an 710 . . . . . . . . . . . . 13 ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2)))
250249a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2))))
251235a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0[,](1 / 4)) ⊆ (0[,](1 / 2)))
252198iihalf1cn 22932 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0[,](1 / 2)) ↦ (2 · 𝑥)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) Cn II)
253252a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,](1 / 2)) ↦ (2 · 𝑥)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) Cn II))
254247, 250, 251, 253cnmpt1res 21681 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,](1 / 4)) ↦ (2 · 𝑥)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 4))) Cn II))
255 oveq2 6821 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑦))
256241, 192, 242, 241, 254, 255cnmpt21 21676 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑦 ∈ (0[,](1 / 4)), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (2 · 𝑦)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 4))) ×t II) Cn II))
257 iccssre 12448 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1 / 4) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → ((1 / 4)[,](1 / 2)) ⊆ ℝ)
25818, 60, 257mp2an 710 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 / 4)[,](1 / 2)) ⊆ ℝ
259 resttopon 21167 . . . . . . . . . . . . 13 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ ((1 / 4)[,](1 / 2)) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 4)[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘((1 / 4)[,](1 / 2))))
260229, 258, 259mp2an 710 . . . . . . . . . . . 12 ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 4)[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘((1 / 4)[,](1 / 2)))
261260a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 4)[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘((1 / 4)[,](1 / 2))))
262261, 192cnmpt1st 21673 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((1 / 4)[,](1 / 2)), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑦) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 4)[,](1 / 2))) ×t II) Cn ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 4)[,](1 / 2)))))
263 eqid 2760 . . . . . . . . . . . 12 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
264258a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((1 / 4)[,](1 / 2)) ⊆ ℝ)
265 unitssre 12512 . . . . . . . . . . . . 13 (0[,]1) ⊆ ℝ
266265a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0[,]1) ⊆ ℝ)
267150, 87sseldi 3742 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ((1 / 4)[,](1 / 2)) → (𝑥 + (1 / 4)) ∈ (0[,]1))
268267adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ((1 / 4)[,](1 / 2))) → (𝑥 + (1 / 4)) ∈ (0[,]1))
269263cnfldtopon 22787 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
270269a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
271270cnmptid 21666 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
27218a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (1 / 4) ∈ ℝ)
273272recnd 10260 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1 / 4) ∈ ℂ)
274270, 270, 273cnmptc 21667 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 / 4)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
275263addcn 22869 . . . . . . . . . . . . . 14 + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
276275a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
277270, 271, 274, 276cnmpt12f 21671 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + (1 / 4))) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
278263, 218, 200, 264, 266, 268, 277cnmptre 22927 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((1 / 4)[,](1 / 2)) ↦ (𝑥 + (1 / 4))) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 4)[,](1 / 2))) Cn II))
279 oveq1 6820 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 + (1 / 4)) = (𝑦 + (1 / 4)))
280261, 192, 262, 261, 278, 279cnmpt21 21676 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((1 / 4)[,](1 / 2)), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑦 + (1 / 4))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 4)[,](1 / 2))) ×t II) Cn II))
281197, 217, 218, 198, 201, 219, 224, 192, 228, 256, 280cnmpt2pc 22928 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑦 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑦), (𝑦 + (1 / 4)))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t II) Cn II))
282 iccssre 12448 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ)
28360, 6, 282mp2an 710 . . . . . . . . . . . 12 ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ
284 resttopon 21167 . . . . . . . . . . . 12 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1)))
285229, 283, 284mp2an 710 . . . . . . . . . . 11 ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1))
286285a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1)))
287286, 192cnmpt1st 21673 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑦) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1))))
288283a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ)
289150, 157sseldi 3742 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) → ((𝑥 / 2) + (1 / 2)) ∈ (0[,]1))
290289adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((𝑥 / 2) + (1 / 2)) ∈ (0[,]1))
291263divccn 22877 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / 2)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
2924, 25, 291mp2an 710 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / 2)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld))
293292a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / 2)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
29432a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
295270, 270, 294cnmptc 21667 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 / 2)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
296270, 293, 295, 276cnmpt12f 21671 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥 / 2) + (1 / 2))) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
297263, 199, 200, 288, 266, 290, 296cnmptre 22927 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↦ ((𝑥 / 2) + (1 / 2))) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) Cn II))
298 oveq1 6820 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 / 2) = (𝑦 / 2))
299298oveq1d 6828 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 / 2) + (1 / 2)) = ((𝑦 / 2) + (1 / 2)))
300286, 192, 287, 286, 297, 299cnmpt21 21676 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑦 / 2) + (1 / 2))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn II))
301197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 192, 216, 281, 300cnmpt2pc 22928 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ (0[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑦 ≤ (1 / 2), if(𝑦 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑦), (𝑦 + (1 / 4))), ((𝑦 / 2) + (1 / 2)))) ∈ ((II ×t II) Cn II))
302 breq1 4807 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ≤ (1 / 2) ↔ 𝑦 ≤ (1 / 2)))
303 breq1 4807 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ≤ (1 / 4) ↔ 𝑦 ≤ (1 / 4)))
304303, 255, 279ifbieq12d 4257 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))) = if(𝑦 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑦), (𝑦 + (1 / 4))))
305302, 304, 299ifbieq12d 4257 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2))) = if(𝑦 ≤ (1 / 2), if(𝑦 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑦), (𝑦 + (1 / 4))), ((𝑦 / 2) + (1 / 2))))
306305equcoms 2102 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2))) = if(𝑦 ≤ (1 / 2), if(𝑦 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑦), (𝑦 + (1 / 4))), ((𝑦 / 2) + (1 / 2))))
307306adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝑦 = 𝑥𝑧 = 0) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2))) = if(𝑦 ≤ (1 / 2), if(𝑦 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑦), (𝑦 + (1 / 4))), ((𝑦 / 2) + (1 / 2))))
308307eqcomd 2766 . . . . . . . 8 ((𝑦 = 𝑥𝑧 = 0) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), if(𝑦 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑦), (𝑦 + (1 / 4))), ((𝑦 / 2) + (1 / 2))) = if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2))))
309192, 193, 196, 192, 192, 301, 308cnmpt12 21672 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2)))) ∈ (II Cn II))
310190, 309syl5eqel 2843 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ (II Cn II))
311 iiuni 22885 . . . . . . 7 (0[,]1) = II
312311, 311cnf 21252 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (II Cn II) → 𝑃:(0[,]1)⟶(0[,]1))
313310, 312syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑃:(0[,]1)⟶(0[,]1))
314190fmpt 6544 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ (0[,]1)if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2))) ∈ (0[,]1) ↔ 𝑃:(0[,]1)⟶(0[,]1))
315313, 314sylibr 224 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (0[,]1)if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2))) ∈ (0[,]1))
316190a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑃 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2)))))
31741, 45, 91pcocn 23017 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)) ∈ (II Cn 𝐽))
318 eqid 2760 . . . . . . 7 𝐽 = 𝐽
319311, 318cnf 21252 . . . . . 6 ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)) ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)):(0[,]1)⟶ 𝐽)
320317, 319syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)):(0[,]1)⟶ 𝐽)
321320feqmptd 6411 . . . 4 (𝜑 → (𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘𝑦)))
322 fveq2 6352 . . . 4 (𝑦 = if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2))) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘𝑦) = ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2)))))
323315, 316, 321, 322fmptcof 6560 . . 3 (𝜑 → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)) ∘ 𝑃) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2))))))
32441, 42, 89pcocn 23017 . . . 4 (𝜑 → (𝐹(*𝑝𝐽)𝐺) ∈ (II Cn 𝐽))
325324, 43pcoval 23011 . . 3 (𝜑 → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)(*𝑝𝐽)𝐻) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘(2 · 𝑥)), (𝐻‘((2 · 𝑥) − 1)))))
326189, 323, 3253eqtr4rd 2805 . 2 (𝜑 → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)(*𝑝𝐽)𝐻) = ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)) ∘ 𝑃))
327 id 22 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → 𝑥 = 0)
328327, 143syl6eqbr 4843 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → 𝑥 ≤ (1 / 2))
329328iftrued 4238 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2))) = if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))))
330327, 221syl6eqbr 4843 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → 𝑥 ≤ (1 / 4))
331330iftrued 4238 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))) = (2 · 𝑥))
332 oveq2 6821 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (2 · 𝑥) = (2 · 0))
333 2t0e0 11375 . . . . . . 7 (2 · 0) = 0
334332, 333syl6eq 2810 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (2 · 𝑥) = 0)
335329, 331, 3343eqtrd 2798 . . . . 5 (𝑥 = 0 → if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2))) = 0)
336 c0ex 10226 . . . . 5 0 ∈ V
337335, 190, 336fvmpt 6444 . . . 4 (0 ∈ (0[,]1) → (𝑃‘0) = 0)
338195, 337syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑃‘0) = 0)
339148a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ (0[,]1))
34060, 6ltnlei 10350 . . . . . . . . 9 ((1 / 2) < 1 ↔ ¬ 1 ≤ (1 / 2))
341144, 340mpbi 220 . . . . . . . 8 ¬ 1 ≤ (1 / 2)
342 breq1 4807 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → (𝑥 ≤ (1 / 2) ↔ 1 ≤ (1 / 2)))
343341, 342mtbiri 316 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2))
344343iffalsed 4241 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2))) = ((𝑥 / 2) + (1 / 2)))
345 oveq1 6820 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → (𝑥 / 2) = (1 / 2))
346345oveq1d 6828 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → ((𝑥 / 2) + (1 / 2)) = ((1 / 2) + (1 / 2)))
347346, 84syl6eq 2810 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → ((𝑥 / 2) + (1 / 2)) = 1)
348344, 347eqtrd 2794 . . . . 5 (𝑥 = 1 → if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2))) = 1)
349 1ex 10227 . . . . 5 1 ∈ V
350348, 190, 349fvmpt 6444 . . . 4 (1 ∈ (0[,]1) → (𝑃‘1) = 1)
351339, 350syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑃‘1) = 1)
352317, 310, 338, 351reparpht 22998 . 2 (𝜑 → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)) ∘ 𝑃)( ≃ph𝐽)(𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)))
353326, 352eqbrtrd 4826 1 (𝜑 → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)(𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 382  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  Vcvv 3340  wss 3715  ifcif 4230   cuni 4588   class class class wbr 4804  cmpt 4881  ran crn 5267  ccom 5270  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  cc 10126  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133  *cxr 10265   < clt 10266  cle 10267  cmin 10458   / cdiv 10876  cn 11212  2c2 11262  4c4 11264  (,)cioo 12368  [,]cicc 12371  t crest 16283  TopOpenctopn 16284  topGenctg 16300  fldccnfld 19948  Topctop 20900  TopOnctopon 20917   Cn ccn 21230   ×t ctx 21565  IIcii 22879  phcphtpc 22969  *𝑝cpco 23000
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-pt 16307  df-prds 16310  df-xrs 16364  df-qtop 16369  df-imas 16370  df-xps 16372  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cld 21025  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-tx 21567  df-hmeo 21760  df-xms 22326  df-ms 22327  df-tms 22328  df-ii 22881  df-htpy 22970  df-phtpy 22971  df-phtpc 22992  df-pco 23005
This theorem is referenced by:  pcophtb  23029  pi1grplem  23049  pi1xfr  23055  pi1xfrcnvlem  23056
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