Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pco1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pco1 22861
 Description: The ending point of a path concatenation. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
pcoval.2 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoval.3 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
Assertion
Ref Expression
pco1 (𝜑 → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘1) = (𝐺‘1))

Proof of Theorem pco1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcoval.2 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
2 pcoval.3 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
31, 2pcoval 22857 . . 3 (𝜑 → (𝐹(*𝑝𝐽)𝐺) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))))
43fveq1d 6231 . 2 (𝜑 → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘1) = ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))‘1))
5 1elunit 12329 . . 3 1 ∈ (0[,]1)
6 halflt1 11288 . . . . . . . 8 (1 / 2) < 1
7 halfre 11284 . . . . . . . . 9 (1 / 2) ∈ ℝ
8 1re 10077 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
97, 8ltnlei 10196 . . . . . . . 8 ((1 / 2) < 1 ↔ ¬ 1 ≤ (1 / 2))
106, 9mpbi 220 . . . . . . 7 ¬ 1 ≤ (1 / 2)
11 breq1 4688 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → (𝑥 ≤ (1 / 2) ↔ 1 ≤ (1 / 2)))
1210, 11mtbiri 316 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2))
1312iffalsed 4130 . . . . 5 (𝑥 = 1 → if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))) = (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))
14 oveq2 6698 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 1 → (2 · 𝑥) = (2 · 1))
15 2t1e2 11214 . . . . . . . . 9 (2 · 1) = 2
1614, 15syl6eq 2701 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → (2 · 𝑥) = 2)
1716oveq1d 6705 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → ((2 · 𝑥) − 1) = (2 − 1))
18 2m1e1 11173 . . . . . . 7 (2 − 1) = 1
1917, 18syl6eq 2701 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → ((2 · 𝑥) − 1) = 1)
2019fveq2d 6233 . . . . 5 (𝑥 = 1 → (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)) = (𝐺‘1))
2113, 20eqtrd 2685 . . . 4 (𝑥 = 1 → if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))) = (𝐺‘1))
22 eqid 2651 . . . 4 (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))
23 fvex 6239 . . . 4 (𝐺‘1) ∈ V
2421, 22, 23fvmpt 6321 . . 3 (1 ∈ (0[,]1) → ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))‘1) = (𝐺‘1))
255, 24ax-mp 5 . 2 ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))‘1) = (𝐺‘1)
264, 25syl6eq 2701 1 (𝜑 → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘1) = (𝐺‘1))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ifcif 4119   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979   < clt 10112   ≤ cle 10113   − cmin 10304   / cdiv 10722  2c2 11108  [,]cicc 12216   Cn ccn 21076  IIcii 22725  *𝑝cpco 22846 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-2 11117  df-icc 12220  df-top 20747  df-topon 20764  df-cn 21079  df-pco 22851 This theorem is referenced by:  pcohtpylem  22865  pcorevlem  22872  pcophtb  22875  om1addcl  22879  pi1xfrf  22899  pi1xfr  22901  pi1xfrcnvlem  22902  pi1coghm  22907  connpconn  31343  sconnpht2  31346  cvmlift3lem6  31432
 Copyright terms: Public domain W3C validator