MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcmul 15603
Description: Multiplication property of the prime power function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
pcmul ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (𝐴 · 𝐵)) = ((𝑃 pCnt 𝐴) + (𝑃 pCnt 𝐵)))

Proof of Theorem pcmul
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2651 . . 3 sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝐴}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝐴}, ℝ, < )
2 eqid 2651 . . 3 sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝐵}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝐵}, ℝ, < )
3 eqid 2651 . . 3 sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝐴 · 𝐵)}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝐴 · 𝐵)}, ℝ, < )
41, 2, 3pcpremul 15595 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝐴}, ℝ, < ) + sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝐵}, ℝ, < )) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝐴 · 𝐵)}, ℝ, < ))
51pczpre 15599 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝐴) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝐴}, ℝ, < ))
653adant3 1101 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝐴) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝐴}, ℝ, < ))
72pczpre 15599 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝐵) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝐵}, ℝ, < ))
873adant2 1100 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝐵) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝐵}, ℝ, < ))
96, 8oveq12d 6708 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝑃 pCnt 𝐴) + (𝑃 pCnt 𝐵)) = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝐴}, ℝ, < ) + sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝐵}, ℝ, < )))
10 zmulcl 11464 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
1110ad2ant2r 798 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
12 zcn 11420 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
1312anim1i 591 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
14 zcn 11420 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
1514anim1i 591 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
16 mulne0 10707 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)
1713, 15, 16syl2an 493 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)
1811, 17jca 553 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 · 𝐵) ≠ 0))
193pczpre 15599 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (𝐴 · 𝐵)) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝐴 · 𝐵)}, ℝ, < ))
2018, 19sylan2 490 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0))) → (𝑃 pCnt (𝐴 · 𝐵)) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝐴 · 𝐵)}, ℝ, < ))
21203impb 1279 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (𝐴 · 𝐵)) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝐴 · 𝐵)}, ℝ, < ))
224, 9, 213eqtr4rd 2696 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (𝐴 · 𝐵)) = ((𝑃 pCnt 𝐴) + (𝑃 pCnt 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  {crab 2945   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  supcsup 8387  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  0cn0 11330  cz 11415  cexp 12900  cdvds 15027  cprime 15432   pCnt cpc 15588
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-prm 15433  df-pc 15589
This theorem is referenced by:  pcqmul  15605  pcaddlem  15639  pcmpt  15643  pcfac  15650  pcbc  15651  sylow1lem1  18059  sylow1lem5  18063  mumullem2  24951  chtublem  24981  lgsdi  25104
  Copyright terms: Public domain W3C validator