MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcmptdvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcmptdvds 15541
Description: The partial products of the prime power map form a divisibility chain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcmpt.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1))
pcmpt.2 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0)
pcmpt.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
pcmptdvds.3 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁))
Assertion
Ref Expression
pcmptdvds (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∥ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀))

Proof of Theorem pcmptdvds
Dummy variables 𝑚 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcmpt.2 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0)
2 nfv 1840 . . . . . . . . . 10 𝑚 𝐴 ∈ ℕ0
3 nfcsb1v 3535 . . . . . . . . . . 11 𝑛𝑚 / 𝑛𝐴
43nfel1 2775 . . . . . . . . . 10 𝑛𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ ℕ0
5 csbeq1a 3528 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑚𝐴 = 𝑚 / 𝑛𝐴)
65eleq1d 2683 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑚 → (𝐴 ∈ ℕ0𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ ℕ0))
72, 4, 6cbvral 3159 . . . . . . . . 9 (∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0 ↔ ∀𝑚 ∈ ℙ 𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ ℕ0)
81, 7sylib 208 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℙ 𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ ℕ0)
9 csbeq1 3522 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑝𝑚 / 𝑛𝐴 = 𝑝 / 𝑛𝐴)
109eleq1d 2683 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑝 → (𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ ℕ0𝑝 / 𝑛𝐴 ∈ ℕ0))
1110rspcv 3295 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ ℙ → (∀𝑚 ∈ ℙ 𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ ℕ0𝑝 / 𝑛𝐴 ∈ ℕ0))
128, 11mpan9 486 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 / 𝑛𝐴 ∈ ℕ0)
1312nn0ge0d 11314 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ 𝑝 / 𝑛𝐴)
14 0le0 11070 . . . . . 6 0 ≤ 0
15 breq2 4627 . . . . . . 7 (𝑝 / 𝑛𝐴 = if((𝑝𝑀 ∧ ¬ 𝑝𝑁), 𝑝 / 𝑛𝐴, 0) → (0 ≤ 𝑝 / 𝑛𝐴 ↔ 0 ≤ if((𝑝𝑀 ∧ ¬ 𝑝𝑁), 𝑝 / 𝑛𝐴, 0)))
16 breq2 4627 . . . . . . 7 (0 = if((𝑝𝑀 ∧ ¬ 𝑝𝑁), 𝑝 / 𝑛𝐴, 0) → (0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ if((𝑝𝑀 ∧ ¬ 𝑝𝑁), 𝑝 / 𝑛𝐴, 0)))
1715, 16ifboth 4102 . . . . . 6 ((0 ≤ 𝑝 / 𝑛𝐴 ∧ 0 ≤ 0) → 0 ≤ if((𝑝𝑀 ∧ ¬ 𝑝𝑁), 𝑝 / 𝑛𝐴, 0))
1813, 14, 17sylancl 693 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ if((𝑝𝑀 ∧ ¬ 𝑝𝑁), 𝑝 / 𝑛𝐴, 0))
19 pcmpt.1 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1))
20 nfcv 2761 . . . . . . . 8 𝑚if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1)
21 nfv 1840 . . . . . . . . 9 𝑛 𝑚 ∈ ℙ
22 nfcv 2761 . . . . . . . . . 10 𝑛𝑚
23 nfcv 2761 . . . . . . . . . 10 𝑛
2422, 23, 3nfov 6641 . . . . . . . . 9 𝑛(𝑚𝑚 / 𝑛𝐴)
25 nfcv 2761 . . . . . . . . 9 𝑛1
2621, 24, 25nfif 4093 . . . . . . . 8 𝑛if(𝑚 ∈ ℙ, (𝑚𝑚 / 𝑛𝐴), 1)
27 eleq1 2686 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 ∈ ℙ ↔ 𝑚 ∈ ℙ))
28 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑚𝑛 = 𝑚)
2928, 5oveq12d 6633 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛𝐴) = (𝑚𝑚 / 𝑛𝐴))
3027, 29ifbieq1d 4087 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑚 → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) = if(𝑚 ∈ ℙ, (𝑚𝑚 / 𝑛𝐴), 1))
3120, 26, 30cbvmpt 4719 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (𝑚𝑚 / 𝑛𝐴), 1))
3219, 31eqtri 2643 . . . . . 6 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (𝑚𝑚 / 𝑛𝐴), 1))
338adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ∀𝑚 ∈ ℙ 𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ ℕ0)
34 pcmpt.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
3534adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
36 simpr 477 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
37 pcmptdvds.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁))
3837adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))
3932, 33, 35, 36, 9, 38pcmpt2 15540 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))) = if((𝑝𝑀 ∧ ¬ 𝑝𝑁), 𝑝 / 𝑛𝐴, 0))
4018, 39breqtrrd 4651 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))))
4140ralrimiva 2962 . . 3 (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))))
4219, 1pcmptcl 15538 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ))
4342simprd 479 . . . . . . 7 (𝜑 → seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ)
44 eluznn 11718 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
4534, 37, 44syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
4643, 45ffvelrnd 6326 . . . . . 6 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℕ)
4746nnzd 11441 . . . . 5 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℤ)
4843, 34ffvelrnd 6326 . . . . 5 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℕ)
49 znq 11752 . . . . 5 (((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℕ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℚ)
5047, 48, 49syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℚ)
51 pcz 15528 . . . 4 (((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℚ → (((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℤ ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)))))
5250, 51syl 17 . . 3 (𝜑 → (((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℤ ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)))))
5341, 52mpbird 247 . 2 (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℤ)
5448nnzd 11441 . . 3 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℤ)
5548nnne0d 11025 . . 3 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ≠ 0)
56 dvdsval2 14929 . . 3 (((seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℤ ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ≠ 0 ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℤ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∥ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℤ))
5754, 55, 47, 56syl3anc 1323 . 2 (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∥ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℤ))
5853, 57mpbird 247 1 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∥ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2908  csb 3519  ifcif 4064   class class class wbr 4623  cmpt 4683  wf 5853  cfv 5857  (class class class)co 6615  0cc0 9896  1c1 9897   · cmul 9901  cle 10035   / cdiv 10644  cn 10980  0cn0 11252  cz 11337  cuz 11647  cq 11748  seqcseq 12757  cexp 12816  cdvds 14926  cprime 15328   pCnt cpc 15484
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-sup 8308  df-inf 8309  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-fz 12285  df-fl 12549  df-mod 12625  df-seq 12758  df-exp 12817  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-dvds 14927  df-gcd 15160  df-prm 15329  df-pc 15485
This theorem is referenced by:  bposlem6  24948
  Copyright terms: Public domain W3C validator