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Theorem pclfinN 35504
Description: The projective subspace closure of a set equals the union of the closures of its finite subsets. Analogous to Lemma 3.3.6 of [PtakPulmannova] p. 72. Compare the closed subspace version pclfinclN 35554. (Contributed by NM, 10-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pclfin.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pclfin.c 𝑈 = (PCl‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
pclfinN ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → (𝑈𝑋) = 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑈   𝑦,𝐾   𝑦,𝑋

Proof of Theorem pclfinN
Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 472 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
2 elin 3829 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) ↔ (𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋))
3 elpwi 4201 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋)
43adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑦𝑋)
52, 4sylbi 207 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) → 𝑦𝑋)
6 simpll 805 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑦𝑋) → 𝐾 ∈ AtLat)
7 sstr 3644 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦𝑋𝑋𝐴) → 𝑦𝐴)
87ancoms 468 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝐴𝑦𝑋) → 𝑦𝐴)
98adantll 750 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑦𝐴)
10 pclfin.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
11 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (PSubSp‘𝐾) = (PSubSp‘𝐾)
12 pclfin.c . . . . . . . . . . 11 𝑈 = (PCl‘𝐾)
1310, 11, 12pclclN 35495 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑦𝐴) → (𝑈𝑦) ∈ (PSubSp‘𝐾))
146, 9, 13syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑈𝑦) ∈ (PSubSp‘𝐾))
1510, 11psubssat 35358 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑈𝑦) ∈ (PSubSp‘𝐾)) → (𝑈𝑦) ⊆ 𝐴)
166, 14, 15syl2anc 694 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑈𝑦) ⊆ 𝐴)
1716ex 449 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → (𝑦𝑋 → (𝑈𝑦) ⊆ 𝐴))
185, 17syl5 34 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → (𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) → (𝑈𝑦) ⊆ 𝐴))
1918ralrimiv 2994 . . . . 5 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → ∀𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ⊆ 𝐴)
20 iunss 4593 . . . . 5 ( 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ⊆ 𝐴)
2119, 20sylibr 224 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ⊆ 𝐴)
22 eliun 4556 . . . . . . . . 9 (𝑝 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (𝑈𝑦))
23 fveq2 6229 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑤 → (𝑈𝑦) = (𝑈𝑤))
2423eleq2d 2716 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑤 → (𝑝 ∈ (𝑈𝑦) ↔ 𝑝 ∈ (𝑈𝑤)))
2524cbvrexv 3202 . . . . . . . . 9 (∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (𝑈𝑦) ↔ ∃𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (𝑈𝑤))
2622, 25bitri 264 . . . . . . . 8 (𝑝 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ↔ ∃𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (𝑈𝑤))
27 eliun 4556 . . . . . . . . 9 (𝑞 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈𝑦))
28 fveq2 6229 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑣 → (𝑈𝑦) = (𝑈𝑣))
2928eleq2d 2716 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑣 → (𝑞 ∈ (𝑈𝑦) ↔ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)))
3029cbvrexv 3202 . . . . . . . . 9 (∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈𝑦) ↔ ∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈𝑣))
3127, 30bitri 264 . . . . . . . 8 (𝑞 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ↔ ∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈𝑣))
3226, 31anbi12i 733 . . . . . . 7 ((𝑝 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ∧ 𝑞 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)) ↔ (∃𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ ∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈𝑣)))
33 elin 3829 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) ↔ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ∈ 𝒫 𝑋))
34 elpwi 4201 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ 𝒫 𝑋𝑤𝑋)
3534anim2i 592 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋))
3633, 35sylbi 207 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) → (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋))
37 elin 3829 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) ↔ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ 𝒫 𝑋))
38 elpwi 4201 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 ∈ 𝒫 𝑋𝑣𝑋)
3938anim2i 592 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋))
4037, 39sylbi 207 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) → (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋))
41 simp2rl 1150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑤 ∈ Fin)
42 simp12l 1194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑣 ∈ Fin)
43 unfi 8268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ Fin) → (𝑤𝑣) ∈ Fin)
4441, 42, 43syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑤𝑣) ∈ Fin)
45 simp2rr 1151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑤𝑋)
46 simp12r 1195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑣𝑋)
4745, 46unssd 3822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑤𝑣) ⊆ 𝑋)
48 vex 3234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑤 ∈ V
49 vex 3234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑣 ∈ V
5048, 49unex 6998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤𝑣) ∈ V
5150elpw 4197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑤𝑣) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝑤𝑣) ⊆ 𝑋)
5247, 51sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑤𝑣) ∈ 𝒫 𝑋)
5344, 52elind 3831 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑤𝑣) ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋))
54 simp11l 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝐾 ∈ AtLat)
55 simp11r 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑋𝐴)
5645, 55sstrd 3646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑤𝐴)
5746, 55sstrd 3646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑣𝐴)
5856, 57unssd 3822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑤𝑣) ⊆ 𝐴)
5910, 11, 12pclclN 35495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑤𝑣) ⊆ 𝐴) → (𝑈‘(𝑤𝑣)) ∈ (PSubSp‘𝐾))
6054, 58, 59syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑈‘(𝑤𝑣)) ∈ (PSubSp‘𝐾))
61 simp3l 1109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑟𝐴)
62 ssun1 3809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑤 ⊆ (𝑤𝑣)
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑤 ⊆ (𝑤𝑣))
6410, 12pclssN 35498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑤 ⊆ (𝑤𝑣) ∧ (𝑤𝑣) ⊆ 𝐴) → (𝑈𝑤) ⊆ (𝑈‘(𝑤𝑣)))
6554, 63, 58, 64syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑈𝑤) ⊆ (𝑈‘(𝑤𝑣)))
66 simp2l 1107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑝 ∈ (𝑈𝑤))
6765, 66sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑝 ∈ (𝑈‘(𝑤𝑣)))
68 ssun2 3810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑣 ⊆ (𝑤𝑣)
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑣 ⊆ (𝑤𝑣))
7010, 12pclssN 35498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑣 ⊆ (𝑤𝑣) ∧ (𝑤𝑣) ⊆ 𝐴) → (𝑈𝑣) ⊆ (𝑈‘(𝑤𝑣)))
7154, 69, 58, 70syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → (𝑈𝑣) ⊆ (𝑈‘(𝑤𝑣)))
72 simp13 1113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑞 ∈ (𝑈𝑣))
7371, 72sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑞 ∈ (𝑈‘(𝑤𝑣)))
74 simp3r 1110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))
75 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
76 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
7775, 76, 10, 11psubspi2N 35352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑈‘(𝑤𝑣)) ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈‘(𝑤𝑣)) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈‘(𝑤𝑣)) ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑟 ∈ (𝑈‘(𝑤𝑣)))
7854, 60, 61, 67, 73, 74, 77syl33anc 1381 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑟 ∈ (𝑈‘(𝑤𝑣)))
79 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (𝑤𝑣) → (𝑈𝑦) = (𝑈‘(𝑤𝑣)))
8079eleq2d 2716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (𝑤𝑣) → (𝑟 ∈ (𝑈𝑦) ↔ 𝑟 ∈ (𝑈‘(𝑤𝑣))))
8180rspcev 3340 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤𝑣) ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈‘(𝑤𝑣))) → ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑟 ∈ (𝑈𝑦))
8253, 78, 81syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑟 ∈ (𝑈𝑦))
83 eliun 4556 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑟 ∈ (𝑈𝑦))
8482, 83sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) ∧ (𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑟 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦))
85843exp 1283 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) → ((𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋)) → ((𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞)) → 𝑟 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦))))
8685exp5c 643 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) ∧ 𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) → (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) → ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋) → (𝑟𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦))))))
87863exp 1283 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → ((𝑣 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑋) → (𝑞 ∈ (𝑈𝑣) → (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) → ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋) → (𝑟𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦))))))))
8840, 87syl5 34 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → (𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) → (𝑞 ∈ (𝑈𝑣) → (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) → ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋) → (𝑟𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦))))))))
8988rexlimdv 3059 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → (∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈𝑣) → (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) → ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋) → (𝑟𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)))))))
9089com24 95 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑋) → (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) → (∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈𝑣) → (𝑟𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)))))))
9136, 90syl5 34 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → (𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) → (𝑝 ∈ (𝑈𝑤) → (∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈𝑣) → (𝑟𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)))))))
9291rexlimdv 3059 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → (∃𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (𝑈𝑤) → (∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈𝑣) → (𝑟𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦))))))
9392impd 446 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → ((∃𝑤 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑝 ∈ (𝑈𝑤) ∧ ∃𝑣 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑞 ∈ (𝑈𝑣)) → (𝑟𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)))))
9432, 93syl5bi 232 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → ((𝑝 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ∧ 𝑞 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)) → (𝑟𝐴 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)))))
9594ralrimdv 2997 . . . . 5 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → ((𝑝 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ∧ 𝑞 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)) → ∀𝑟𝐴 (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦))))
9695ralrimivv 2999 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → ∀𝑝 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)∀𝑞 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)∀𝑟𝐴 (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)))
9775, 76, 10, 11ispsubsp 35349 . . . . 5 (𝐾 ∈ AtLat → ( 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ∈ (PSubSp‘𝐾) ↔ ( 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑝 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)∀𝑞 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)∀𝑟𝐴 (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)))))
9897adantr 480 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → ( 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ∈ (PSubSp‘𝐾) ↔ ( 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑝 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)∀𝑞 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)∀𝑟𝐴 (𝑟(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) → 𝑟 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)))))
9921, 96, 98mpbir2and 977 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ∈ (PSubSp‘𝐾))
100 snfi 8079 . . . . . . . . 9 {𝑤} ∈ Fin
101100a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑤𝑋) → {𝑤} ∈ Fin)
102 snelpwi 4942 . . . . . . . . 9 (𝑤𝑋 → {𝑤} ∈ 𝒫 𝑋)
103102adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑤𝑋) → {𝑤} ∈ 𝒫 𝑋)
104101, 103elind 3831 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑤𝑋) → {𝑤} ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋))
105 vsnid 4242 . . . . . . . 8 𝑤 ∈ {𝑤}
106 simpll 805 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑤𝑋) → 𝐾 ∈ AtLat)
107 ssel2 3631 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝐴𝑤𝑋) → 𝑤𝐴)
108107adantll 750 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑤𝑋) → 𝑤𝐴)
10910, 11snatpsubN 35354 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑤𝐴) → {𝑤} ∈ (PSubSp‘𝐾))
110106, 108, 109syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑤𝑋) → {𝑤} ∈ (PSubSp‘𝐾))
11111, 12pclidN 35500 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ {𝑤} ∈ (PSubSp‘𝐾)) → (𝑈‘{𝑤}) = {𝑤})
112106, 110, 111syl2anc 694 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑤𝑋) → (𝑈‘{𝑤}) = {𝑤})
113105, 112syl5eleqr 2737 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑤𝑋) → 𝑤 ∈ (𝑈‘{𝑤}))
114 fveq2 6229 . . . . . . . . 9 (𝑦 = {𝑤} → (𝑈𝑦) = (𝑈‘{𝑤}))
115114eleq2d 2716 . . . . . . . 8 (𝑦 = {𝑤} → (𝑤 ∈ (𝑈𝑦) ↔ 𝑤 ∈ (𝑈‘{𝑤})))
116115rspcev 3340 . . . . . . 7 (({𝑤} ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈‘{𝑤})) → ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑤 ∈ (𝑈𝑦))
117104, 113, 116syl2anc 694 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑤𝑋) → ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑤 ∈ (𝑈𝑦))
118117ex 449 . . . . 5 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → (𝑤𝑋 → ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑤 ∈ (𝑈𝑦)))
119 eliun 4556 . . . . 5 (𝑤 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑤 ∈ (𝑈𝑦))
120118, 119syl6ibr 242 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → (𝑤𝑋𝑤 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦)))
121120ssrdv 3642 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → 𝑋 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦))
122 simpr 476 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑦𝑋)
123 simplr 807 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑋𝐴)
12410, 12pclssN 35498 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑦𝑋𝑋𝐴) → (𝑈𝑦) ⊆ (𝑈𝑋))
1256, 122, 123, 124syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑈𝑦) ⊆ (𝑈𝑋))
126125sseld 3635 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑤 ∈ (𝑈𝑦) → 𝑤 ∈ (𝑈𝑋)))
127126ex 449 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → (𝑦𝑋 → (𝑤 ∈ (𝑈𝑦) → 𝑤 ∈ (𝑈𝑋))))
1285, 127syl5 34 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → (𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋) → (𝑤 ∈ (𝑈𝑦) → 𝑤 ∈ (𝑈𝑋))))
129128rexlimdv 3059 . . . . 5 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → (∃𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)𝑤 ∈ (𝑈𝑦) → 𝑤 ∈ (𝑈𝑋)))
130119, 129syl5bi 232 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → (𝑤 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) → 𝑤 ∈ (𝑈𝑋)))
131130ssrdv 3642 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ⊆ (𝑈𝑋))
13211, 12pclbtwnN 35501 . . 3 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ∈ (PSubSp‘𝐾)) ∧ (𝑋 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ∧ 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) ⊆ (𝑈𝑋))) → 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) = (𝑈𝑋))
1331, 99, 121, 131, 132syl22anc 1367 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦) = (𝑈𝑋))
134133eqcomd 2657 1 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐴) → (𝑈𝑋) = 𝑦 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝑋)(𝑈𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942  cun 3605  cin 3606  wss 3607  𝒫 cpw 4191  {csn 4210   ciun 4552   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  lecple 15995  joincjn 16991  Atomscatm 34868  AtLatcal 34869  PSubSpcpsubsp 35100  PClcpclN 35491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-fin 8001  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-lat 17093  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-psubsp 35107  df-pclN 35492
This theorem is referenced by:  pclcmpatN  35505
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