Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pcl0bN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcl0bN 35730
Description: The projective subspace closure of the empty subspace. (Contributed by NM, 13-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pcl0b.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pcl0b.c 𝑈 = (PCl‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
pcl0bN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → ((𝑈𝑃) = ∅ ↔ 𝑃 = ∅))

Proof of Theorem pcl0bN
StepHypRef Expression
1 pcl0b.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2 pcl0b.c . . . . 5 𝑈 = (PCl‘𝐾)
31, 2pclssidN 35702 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → 𝑃 ⊆ (𝑈𝑃))
4 eqimss 3798 . . . 4 ((𝑈𝑃) = ∅ → (𝑈𝑃) ⊆ ∅)
53, 4sylan9ss 3757 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑈𝑃) = ∅) → 𝑃 ⊆ ∅)
6 ss0 4117 . . 3 (𝑃 ⊆ ∅ → 𝑃 = ∅)
75, 6syl 17 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑈𝑃) = ∅) → 𝑃 = ∅)
8 fveq2 6353 . . . 4 (𝑃 = ∅ → (𝑈𝑃) = (𝑈‘∅))
92pcl0N 35729 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → (𝑈‘∅) = ∅)
108, 9sylan9eqr 2816 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 = ∅) → (𝑈𝑃) = ∅)
1110adantlr 753 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ 𝑃 = ∅) → (𝑈𝑃) = ∅)
127, 11impbida 913 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → ((𝑈𝑃) = ∅ ↔ 𝑃 = ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wss 3715  c0 4058  cfv 6049  Atomscatm 35071  HLchlt 35158  PClcpclN 35694
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-riotaBAD 34760
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-undef 7569  df-preset 17149  df-poset 17167  df-plt 17179  df-lub 17195  df-glb 17196  df-join 17197  df-meet 17198  df-p0 17260  df-p1 17261  df-lat 17267  df-clat 17329  df-oposet 34984  df-ol 34986  df-oml 34987  df-covers 35074  df-ats 35075  df-atl 35106  df-cvlat 35130  df-hlat 35159  df-psubsp 35310  df-pmap 35311  df-pclN 35695  df-polarityN 35710
This theorem is referenced by:  pclfinclN  35757
  Copyright terms: Public domain W3C validator