MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcfaclem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcfaclem 15809
Description: Lemma for pcfac 15810. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
pcfaclem ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑀))) = 0)

Proof of Theorem pcfaclem
StepHypRef Expression
1 nn0ge0 11525 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
213ad2ant1 1127 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 0 ≤ 𝑁)
3 nn0re 11508 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
433ad2ant1 1127 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℝ)
5 prmnn 15595 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
653ad2ant3 1129 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℕ)
7 eluznn0 11965 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
873adant3 1126 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
96, 8nnexpcld 13237 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃𝑀) ∈ ℕ)
109nnred 11241 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃𝑀) ∈ ℝ)
119nngt0d 11270 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 0 < (𝑃𝑀))
12 ge0div 11096 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑃𝑀)) → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 ≤ (𝑁 / (𝑃𝑀))))
134, 10, 11, 12syl3anc 1476 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 ≤ (𝑁 / (𝑃𝑀))))
142, 13mpbid 222 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 0 ≤ (𝑁 / (𝑃𝑀)))
158nn0red 11559 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ ℝ)
16 eluzle 11906 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁𝑀)
17163ad2ant2 1128 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁𝑀)
18 prmuz2 15615 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
19183ad2ant3 1129 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
20 bernneq3 13199 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 < (𝑃𝑀))
2119, 8, 20syl2anc 573 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑀 < (𝑃𝑀))
224, 15, 10, 17, 21lelttrd 10401 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 < (𝑃𝑀))
239nncnd 11242 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃𝑀) ∈ ℂ)
2423mulid1d 10263 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑃𝑀) · 1) = (𝑃𝑀))
2522, 24breqtrrd 4815 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 < ((𝑃𝑀) · 1))
26 1red 10261 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 1 ∈ ℝ)
27 ltdivmul 11104 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑃𝑀))) → ((𝑁 / (𝑃𝑀)) < 1 ↔ 𝑁 < ((𝑃𝑀) · 1)))
284, 26, 10, 11, 27syl112anc 1480 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑁 / (𝑃𝑀)) < 1 ↔ 𝑁 < ((𝑃𝑀) · 1)))
2925, 28mpbird 247 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁 / (𝑃𝑀)) < 1)
30 0p1e1 11338 . . 3 (0 + 1) = 1
3129, 30syl6breqr 4829 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁 / (𝑃𝑀)) < (0 + 1))
324, 9nndivred 11275 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁 / (𝑃𝑀)) ∈ ℝ)
33 0z 11595 . . 3 0 ∈ ℤ
34 flbi 12825 . . 3 (((𝑁 / (𝑃𝑀)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑀))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝑁 / (𝑃𝑀)) ∧ (𝑁 / (𝑃𝑀)) < (0 + 1))))
3532, 33, 34sylancl 574 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑀))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝑁 / (𝑃𝑀)) ∧ (𝑁 / (𝑃𝑀)) < (0 + 1))))
3614, 31, 35mpbir2and 692 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑀))) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145   class class class wbr 4787  cfv 6030  (class class class)co 6796  cr 10141  0cc0 10142  1c1 10143   + caddc 10145   · cmul 10147   < clt 10280  cle 10281   / cdiv 10890  cn 11226  2c2 11276  0cn0 11499  cz 11584  cuz 11893  cfl 12799  cexp 13067  cprime 15592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8508  df-inf 8509  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-rp 12036  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-dvds 15190  df-prm 15593
This theorem is referenced by:  pcfac  15810
  Copyright terms: Public domain W3C validator