MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcexp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcexp 15786
Description: Prime power of an exponential. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
pcexp ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (𝐴𝑁)) = (𝑁 · (𝑃 pCnt 𝐴)))

Proof of Theorem pcexp
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6822 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (𝐴𝑥) = (𝐴↑0))
21oveq2d 6830 . . . 4 (𝑥 = 0 → (𝑃 pCnt (𝐴𝑥)) = (𝑃 pCnt (𝐴↑0)))
3 oveq1 6821 . . . 4 (𝑥 = 0 → (𝑥 · (𝑃 pCnt 𝐴)) = (0 · (𝑃 pCnt 𝐴)))
42, 3eqeq12d 2775 . . 3 (𝑥 = 0 → ((𝑃 pCnt (𝐴𝑥)) = (𝑥 · (𝑃 pCnt 𝐴)) ↔ (𝑃 pCnt (𝐴↑0)) = (0 · (𝑃 pCnt 𝐴))))
5 oveq2 6822 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝑦))
65oveq2d 6830 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝑃 pCnt (𝐴𝑥)) = (𝑃 pCnt (𝐴𝑦)))
7 oveq1 6821 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · (𝑃 pCnt 𝐴)) = (𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)))
86, 7eqeq12d 2775 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑃 pCnt (𝐴𝑥)) = (𝑥 · (𝑃 pCnt 𝐴)) ↔ (𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) = (𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴))))
9 oveq2 6822 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐴𝑥) = (𝐴↑(𝑦 + 1)))
109oveq2d 6830 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑃 pCnt (𝐴𝑥)) = (𝑃 pCnt (𝐴↑(𝑦 + 1))))
11 oveq1 6821 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 · (𝑃 pCnt 𝐴)) = ((𝑦 + 1) · (𝑃 pCnt 𝐴)))
1210, 11eqeq12d 2775 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑃 pCnt (𝐴𝑥)) = (𝑥 · (𝑃 pCnt 𝐴)) ↔ (𝑃 pCnt (𝐴↑(𝑦 + 1))) = ((𝑦 + 1) · (𝑃 pCnt 𝐴))))
13 oveq2 6822 . . . . 5 (𝑥 = -𝑦 → (𝐴𝑥) = (𝐴↑-𝑦))
1413oveq2d 6830 . . . 4 (𝑥 = -𝑦 → (𝑃 pCnt (𝐴𝑥)) = (𝑃 pCnt (𝐴↑-𝑦)))
15 oveq1 6821 . . . 4 (𝑥 = -𝑦 → (𝑥 · (𝑃 pCnt 𝐴)) = (-𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)))
1614, 15eqeq12d 2775 . . 3 (𝑥 = -𝑦 → ((𝑃 pCnt (𝐴𝑥)) = (𝑥 · (𝑃 pCnt 𝐴)) ↔ (𝑃 pCnt (𝐴↑-𝑦)) = (-𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴))))
17 oveq2 6822 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝑁))
1817oveq2d 6830 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → (𝑃 pCnt (𝐴𝑥)) = (𝑃 pCnt (𝐴𝑁)))
19 oveq1 6821 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 · (𝑃 pCnt 𝐴)) = (𝑁 · (𝑃 pCnt 𝐴)))
2018, 19eqeq12d 2775 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑃 pCnt (𝐴𝑥)) = (𝑥 · (𝑃 pCnt 𝐴)) ↔ (𝑃 pCnt (𝐴𝑁)) = (𝑁 · (𝑃 pCnt 𝐴))))
21 pc1 15782 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 1) = 0)
2221adantr 472 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 1) = 0)
23 qcn 12015 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
2423ad2antrl 766 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2524exp0d 13216 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝐴↑0) = 1)
2625oveq2d 6830 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (𝐴↑0)) = (𝑃 pCnt 1))
27 pcqcl 15783 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
2827zcnd 11695 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℂ)
2928mul02d 10446 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (0 · (𝑃 pCnt 𝐴)) = 0)
3022, 26, 293eqtr4d 2804 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (𝐴↑0)) = (0 · (𝑃 pCnt 𝐴)))
31 oveq1 6821 . . . . 5 ((𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) = (𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) → ((𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) + (𝑃 pCnt 𝐴)) = ((𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) + (𝑃 pCnt 𝐴)))
32 expp1 13081 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑦 + 1)) = ((𝐴𝑦) · 𝐴))
3324, 32sylan 489 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑦 + 1)) = ((𝐴𝑦) · 𝐴))
3433oveq2d 6830 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝐴↑(𝑦 + 1))) = (𝑃 pCnt ((𝐴𝑦) · 𝐴)))
35 simpll 807 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℙ)
36 simplrl 819 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℚ)
37 simplrr 820 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≠ 0)
38 nn0z 11612 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ)
3938adantl 473 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℤ)
40 qexpclz 13095 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝐴𝑦) ∈ ℚ)
4136, 37, 39, 40syl3anc 1477 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑦) ∈ ℚ)
4224adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
4342, 37, 39expne0d 13228 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑦) ≠ 0)
44 pcqmul 15780 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝐴𝑦) ∈ ℚ ∧ (𝐴𝑦) ≠ 0) ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt ((𝐴𝑦) · 𝐴)) = ((𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) + (𝑃 pCnt 𝐴)))
4535, 41, 43, 36, 37, 44syl122anc 1486 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt ((𝐴𝑦) · 𝐴)) = ((𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) + (𝑃 pCnt 𝐴)))
4634, 45eqtrd 2794 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝐴↑(𝑦 + 1))) = ((𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) + (𝑃 pCnt 𝐴)))
47 nn0cn 11514 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℂ)
4847adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℂ)
49 1cnd 10268 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
5028adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℂ)
5148, 49, 50adddird 10277 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 + 1) · (𝑃 pCnt 𝐴)) = ((𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) + (1 · (𝑃 pCnt 𝐴))))
5250mulid2d 10270 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (1 · (𝑃 pCnt 𝐴)) = (𝑃 pCnt 𝐴))
5352oveq2d 6830 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) + (1 · (𝑃 pCnt 𝐴))) = ((𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) + (𝑃 pCnt 𝐴)))
5451, 53eqtrd 2794 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 + 1) · (𝑃 pCnt 𝐴)) = ((𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) + (𝑃 pCnt 𝐴)))
5546, 54eqeq12d 2775 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑃 pCnt (𝐴↑(𝑦 + 1))) = ((𝑦 + 1) · (𝑃 pCnt 𝐴)) ↔ ((𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) + (𝑃 pCnt 𝐴)) = ((𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) + (𝑃 pCnt 𝐴))))
5631, 55syl5ibr 236 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) = (𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) → (𝑃 pCnt (𝐴↑(𝑦 + 1))) = ((𝑦 + 1) · (𝑃 pCnt 𝐴))))
5756ex 449 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) = (𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) → (𝑃 pCnt (𝐴↑(𝑦 + 1))) = ((𝑦 + 1) · (𝑃 pCnt 𝐴)))))
58 negeq 10485 . . . . 5 ((𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) = (𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) → -(𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) = -(𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)))
59 nnnn0 11511 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ0)
60 expneg 13082 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝑦) = (1 / (𝐴𝑦)))
6124, 59, 60syl2an 495 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴↑-𝑦) = (1 / (𝐴𝑦)))
6261oveq2d 6830 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (𝐴↑-𝑦)) = (𝑃 pCnt (1 / (𝐴𝑦))))
63 simpll 807 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℙ)
6459, 41sylan2 492 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴𝑦) ∈ ℚ)
6559, 43sylan2 492 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴𝑦) ≠ 0)
66 pcrec 15785 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝐴𝑦) ∈ ℚ ∧ (𝐴𝑦) ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (1 / (𝐴𝑦))) = -(𝑃 pCnt (𝐴𝑦)))
6763, 64, 65, 66syl12anc 1475 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (1 / (𝐴𝑦))) = -(𝑃 pCnt (𝐴𝑦)))
6862, 67eqtrd 2794 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (𝐴↑-𝑦)) = -(𝑃 pCnt (𝐴𝑦)))
69 nncn 11240 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
70 mulneg1 10678 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℂ) → (-𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) = -(𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)))
7169, 28, 70syl2anr 496 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (-𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) = -(𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)))
7268, 71eqeq12d 2775 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt (𝐴↑-𝑦)) = (-𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) ↔ -(𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) = -(𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴))))
7358, 72syl5ibr 236 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) = (𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) → (𝑃 pCnt (𝐴↑-𝑦)) = (-𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴))))
7473ex 449 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑃 pCnt (𝐴𝑦)) = (𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)) → (𝑃 pCnt (𝐴↑-𝑦)) = (-𝑦 · (𝑃 pCnt 𝐴)))))
754, 8, 12, 16, 20, 30, 57, 74zindd 11690 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑃 pCnt (𝐴𝑁)) = (𝑁 · (𝑃 pCnt 𝐴))))
76753impia 1110 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (𝐴𝑁)) = (𝑁 · (𝑃 pCnt 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  (class class class)co 6814  cc 10146  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151   · cmul 10153  -cneg 10479   / cdiv 10896  cn 11232  0cn0 11504  cz 11589  cq 12001  cexp 13074  cprime 15607   pCnt cpc 15763
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-inf 8516  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-fl 12807  df-mod 12883  df-seq 13016  df-exp 13075  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-dvds 15203  df-gcd 15439  df-prm 15608  df-pc 15764
This theorem is referenced by:  qexpz  15827  expnprm  15828  dchrisum0flblem1  25417  dchrisum0flblem2  25418
  Copyright terms: Public domain W3C validator