MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pceulem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pceulem 15673
Description: Lemma for pceu 15674. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcval.1 𝑆 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑥}, ℝ, < )
pcval.2 𝑇 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < )
pceu.3 𝑈 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < )
pceu.4 𝑉 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )
pceu.5 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
pceu.6 (𝜑𝑁 ≠ 0)
pceu.7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ))
pceu.8 (𝜑𝑁 = (𝑥 / 𝑦))
pceu.9 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℕ))
pceu.10 (𝜑𝑁 = (𝑠 / 𝑡))
Assertion
Ref Expression
pceulem (𝜑 → (𝑆𝑇) = (𝑈𝑉))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑁   𝑃,𝑛,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦   𝑆,𝑠,𝑡   𝑇,𝑠,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑡,𝑛,𝑠)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑡,𝑛,𝑠)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑡,𝑛,𝑠)

Proof of Theorem pceulem
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pceu.7 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ))
21simprd 482 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑦 ∈ ℕ)
32nncnd 11149 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑦 ∈ ℂ)
4 pceu.9 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℕ))
54simpld 477 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑠 ∈ ℤ)
65zcnd 11596 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑠 ∈ ℂ)
73, 6mulcomd 10174 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 · 𝑠) = (𝑠 · 𝑦))
8 pceu.10 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 = (𝑠 / 𝑡))
9 pceu.8 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 = (𝑥 / 𝑦))
108, 9eqtr3d 2760 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠 / 𝑡) = (𝑥 / 𝑦))
114simprd 482 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑡 ∈ ℕ)
1211nncnd 11149 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑡 ∈ ℂ)
131simpld 477 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑥 ∈ ℤ)
1413zcnd 11596 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑥 ∈ ℂ)
1511nnne0d 11178 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑡 ≠ 0)
162nnne0d 11178 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑦 ≠ 0)
176, 12, 14, 3, 15, 16divmuleqd 10960 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑠 / 𝑡) = (𝑥 / 𝑦) ↔ (𝑠 · 𝑦) = (𝑥 · 𝑡)))
1810, 17mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠 · 𝑦) = (𝑥 · 𝑡))
197, 18eqtrd 2758 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 · 𝑠) = (𝑥 · 𝑡))
2019breq2d 4772 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃𝑧) ∥ (𝑦 · 𝑠) ↔ (𝑃𝑧) ∥ (𝑥 · 𝑡)))
2120rabbidv 3293 . . . . 5 (𝜑 → {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑧) ∥ (𝑦 · 𝑠)} = {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑧) ∥ (𝑥 · 𝑡)})
22 oveq2 6773 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑧 → (𝑃𝑛) = (𝑃𝑧))
2322breq1d 4770 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑧 → ((𝑃𝑛) ∥ (𝑦 · 𝑠) ↔ (𝑃𝑧) ∥ (𝑦 · 𝑠)))
2423cbvrabv 3303 . . . . 5 {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑦 · 𝑠)} = {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑧) ∥ (𝑦 · 𝑠)}
2522breq1d 4770 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑧 → ((𝑃𝑛) ∥ (𝑥 · 𝑡) ↔ (𝑃𝑧) ∥ (𝑥 · 𝑡)))
2625cbvrabv 3303 . . . . 5 {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑥 · 𝑡)} = {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑧) ∥ (𝑥 · 𝑡)}
2721, 24, 263eqtr4g 2783 . . . 4 (𝜑 → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑦 · 𝑠)} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑥 · 𝑡)})
2827supeq1d 8468 . . 3 (𝜑 → sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑦 · 𝑠)}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑥 · 𝑡)}, ℝ, < ))
29 pceu.5 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
302nnzd 11594 . . . 4 (𝜑𝑦 ∈ ℤ)
31 pceu.6 . . . . 5 (𝜑𝑁 ≠ 0)
3212, 15div0d 10913 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 / 𝑡) = 0)
33 oveq1 6772 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 0 → (𝑠 / 𝑡) = (0 / 𝑡))
3433eqeq1d 2726 . . . . . . . 8 (𝑠 = 0 → ((𝑠 / 𝑡) = 0 ↔ (0 / 𝑡) = 0))
3532, 34syl5ibrcom 237 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑠 = 0 → (𝑠 / 𝑡) = 0))
368eqeq1d 2726 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 = 0 ↔ (𝑠 / 𝑡) = 0))
3735, 36sylibrd 249 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 = 0 → 𝑁 = 0))
3837necon3d 2917 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 ≠ 0 → 𝑠 ≠ 0))
3931, 38mpd 15 . . . 4 (𝜑𝑠 ≠ 0)
40 pcval.2 . . . . 5 𝑇 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < )
41 pceu.3 . . . . 5 𝑈 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < )
42 eqid 2724 . . . . 5 sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑦 · 𝑠)}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑦 · 𝑠)}, ℝ, < )
4340, 41, 42pcpremul 15671 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → (𝑇 + 𝑈) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑦 · 𝑠)}, ℝ, < ))
4429, 30, 16, 5, 39, 43syl122anc 1448 . . 3 (𝜑 → (𝑇 + 𝑈) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑦 · 𝑠)}, ℝ, < ))
453, 16div0d 10913 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 / 𝑦) = 0)
46 oveq1 6772 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝑥 / 𝑦) = (0 / 𝑦))
4746eqeq1d 2726 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → ((𝑥 / 𝑦) = 0 ↔ (0 / 𝑦) = 0))
4845, 47syl5ibrcom 237 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 = 0 → (𝑥 / 𝑦) = 0))
499eqeq1d 2726 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 = 0 ↔ (𝑥 / 𝑦) = 0))
5048, 49sylibrd 249 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 = 0 → 𝑁 = 0))
5150necon3d 2917 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 ≠ 0 → 𝑥 ≠ 0))
5231, 51mpd 15 . . . 4 (𝜑𝑥 ≠ 0)
5311nnzd 11594 . . . 4 (𝜑𝑡 ∈ ℤ)
54 pcval.1 . . . . 5 𝑆 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑥}, ℝ, < )
55 pceu.4 . . . . 5 𝑉 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )
56 eqid 2724 . . . . 5 sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑥 · 𝑡)}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑥 · 𝑡)}, ℝ, < )
5754, 55, 56pcpremul 15671 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑡 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (𝑆 + 𝑉) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑥 · 𝑡)}, ℝ, < ))
5829, 13, 52, 53, 15, 57syl122anc 1448 . . 3 (𝜑 → (𝑆 + 𝑉) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑥 · 𝑡)}, ℝ, < ))
5928, 44, 583eqtr4d 2768 . 2 (𝜑 → (𝑇 + 𝑈) = (𝑆 + 𝑉))
60 prmuz2 15531 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
6129, 60syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘2))
62 eqid 2724 . . . . . . 7 {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑦} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑦}
6362, 40pcprecl 15667 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑇 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃𝑇) ∥ 𝑦))
6463simpld 477 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → 𝑇 ∈ ℕ0)
6561, 30, 16, 64syl12anc 1437 . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ ℕ0)
6665nn0cnd 11466 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
67 eqid 2724 . . . . . . 7 {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑠} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑠}
6867, 41pcprecl 15667 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → (𝑈 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃𝑈) ∥ 𝑠))
6968simpld 477 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → 𝑈 ∈ ℕ0)
7061, 5, 39, 69syl12anc 1437 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ ℕ0)
7170nn0cnd 11466 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
72 eqid 2724 . . . . . . 7 {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑥} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑥}
7372, 54pcprecl 15667 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃𝑆) ∥ 𝑥))
7473simpld 477 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
7561, 13, 52, 74syl12anc 1437 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
7675nn0cnd 11466 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
77 eqid 2724 . . . . . . 7 {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑡} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑡}
7877, 55pcprecl 15667 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑡 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (𝑉 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃𝑉) ∥ 𝑡))
7978simpld 477 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑡 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → 𝑉 ∈ ℕ0)
8061, 53, 15, 79syl12anc 1437 . . . 4 (𝜑𝑉 ∈ ℕ0)
8180nn0cnd 11466 . . 3 (𝜑𝑉 ∈ ℂ)
8266, 71, 76, 81addsubeq4d 10556 . 2 (𝜑 → ((𝑇 + 𝑈) = (𝑆 + 𝑉) ↔ (𝑆𝑇) = (𝑈𝑉)))
8359, 82mpbid 222 1 (𝜑 → (𝑆𝑇) = (𝑈𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103  wne 2896  {crab 3018   class class class wbr 4760  cfv 6001  (class class class)co 6765  supcsup 8462  cr 10048  0cc0 10049   + caddc 10052   · cmul 10054   < clt 10187  cmin 10379   / cdiv 10797  cn 11133  2c2 11183  0cn0 11405  cz 11490  cuz 11800  cexp 12975  cdvds 15103  cprime 15508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-2o 7681  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-sup 8464  df-inf 8465  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-rp 11947  df-fl 12708  df-mod 12784  df-seq 12917  df-exp 12976  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-dvds 15104  df-gcd 15340  df-prm 15509
This theorem is referenced by:  pceu  15674
  Copyright terms: Public domain W3C validator