Theorem pccld 15778

Description: Closure of the prime power function. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pccld.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
pccld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
pccld	⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem pccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pccld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
2		pccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3		pccl 15777	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2anc 696	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2140  (class class class)co 6815  ℕcn 11233  ℕ₀cn0 11505  ℙcprime 15608   pCnt cpc 15764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-2o 7732  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-sup 8516  df-inf 8517  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-q 12003  df-rp 12047  df-fl 12808  df-mod 12884  df-seq 13017  df-exp 13076  df-cj 14059  df-re 14060  df-im 14061  df-sqrt 14195  df-abs 14196  df-dvds 15204  df-gcd 15440  df-prm 15609  df-pc 15765

This theorem is referenced by:  pcqmul  15781  pcidlem  15799  pcgcd1  15804  pc2dvds  15806  pcz  15808  pcprmpw2  15809  dvdsprmpweq  15811  pcadd  15816  pcmpt  15819  pcfac  15826  oddprmdvds  15830  pockthg  15833  prmreclem2  15844  sylow1lem1  18234  sylow1lem3  18236  sylow1lem5  18238  pgpfi  18241  slwhash  18260  fislw  18261  gexexlem  18476  ablfac1lem  18688  ablfac1b  18690  ablfac1c  18691  ablfac1eu  18693  pgpfac1lem2  18695  pgpfac1lem3a  18696  ablfaclem3  18707  mumullem2  25127  chtublem  25157  pclogsum  25161  bposlem1  25230  bposlem3  25232  chebbnd1lem1  25379  dchrisum0flblem1  25418  dchrisum0flblem2  25419