MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pc11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pc11 15631
Description: The prime count function, viewed as a function from to (ℕ ↑𝑚 ℙ), is one-to-one. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
pc11 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝

Proof of Theorem pc11
StepHypRef Expression
1 oveq2 6698 . . 3 (𝐴 = 𝐵 → (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵))
21ralrimivw 2996 . 2 (𝐴 = 𝐵 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵))
3 nn0z 11438 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ)
4 nn0z 11438 . . . 4 (𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℤ)
5 zq 11832 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
6 pcxcl 15612 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℝ*)
75, 6sylan2 490 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℝ*)
8 zq 11832 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℚ)
9 pcxcl 15612 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ*)
108, 9sylan2 490 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ*)
117, 10anim12dan 900 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℝ* ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ*))
12 xrletri3 12023 . . . . . . . . 9 (((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℝ* ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ*) → ((𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))))
1311, 12syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))))
1413ancoms 468 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))))
1514ralbidva 3014 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))))
16 r19.26 3093 . . . . . 6 (∀𝑝 ∈ ℙ ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ (𝑝 pCnt 𝐴)) ↔ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ (𝑝 pCnt 𝐴)))
1715, 16syl6bb 276 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))))
18 pc2dvds 15630 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵)))
19 pc2dvds 15630 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐵𝐴 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ (𝑝 pCnt 𝐴)))
2019ancoms 468 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵𝐴 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ (𝑝 pCnt 𝐴)))
2118, 20anbi12d 747 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴𝐵𝐵𝐴) ↔ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))))
2217, 21bitr4d 271 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
233, 4, 22syl2an 493 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
24 dvdseq 15083 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) → 𝐴 = 𝐵)
2524ex 449 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝐵𝐵𝐴) → 𝐴 = 𝐵))
2623, 25sylbid 230 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
272, 26impbid2 216 1 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  *cxr 10111  cle 10113  0cn0 11330  cz 11415  cq 11826  cdvds 15027  cprime 15432   pCnt cpc 15588
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-prm 15433  df-pc 15589
This theorem is referenced by:  pcprod  15646  prmreclem2  15668  1arith  15678  isppw2  24886  sqf11  24910  bposlem3  25056
  Copyright terms: Public domain W3C validator