MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  padicval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem padicval 25527
Description: Value of the p-adic absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
padicval.j 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
Assertion
Ref Expression
padicval ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑋 ∈ ℚ) → ((𝐽𝑃)‘𝑋) = if(𝑋 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑋))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑞,𝑃   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐽(𝑥,𝑞)   𝑋(𝑞)

Proof of Theorem padicval
StepHypRef Expression
1 padicval.j . . . 4 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
21padicfval 25526 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → (𝐽𝑃) = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑥)))))
32fveq1d 6335 . 2 (𝑃 ∈ ℙ → ((𝐽𝑃)‘𝑋) = ((𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑥))))‘𝑋))
4 eqeq1 2775 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑋 = 0))
5 oveq2 6804 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (𝑃 pCnt 𝑥) = (𝑃 pCnt 𝑋))
65negeqd 10481 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → -(𝑃 pCnt 𝑥) = -(𝑃 pCnt 𝑋))
76oveq2d 6812 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑥)) = (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑋)))
84, 7ifbieq2d 4251 . . 3 (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑥))) = if(𝑋 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑋))))
9 eqid 2771 . . 3 (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑥))))
10 c0ex 10240 . . . 4 0 ∈ V
11 ovex 6827 . . . 4 (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑋)) ∈ V
1210, 11ifex 4296 . . 3 if(𝑋 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑋))) ∈ V
138, 9, 12fvmpt 6426 . 2 (𝑋 ∈ ℚ → ((𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑥))))‘𝑋) = if(𝑋 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑋))))
143, 13sylan9eq 2825 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑋 ∈ ℚ) → ((𝐽𝑃)‘𝑋) = if(𝑋 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑋))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  ifcif 4226  cmpt 4864  cfv 6030  (class class class)co 6796  0cc0 10142  -cneg 10473  cq 11996  cexp 13067  cprime 15592   pCnt cpc 15748
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-z 11585  df-q 11997
This theorem is referenced by:  padicabvcxp  25542  ostth3  25548
  Copyright terms: Public domain W3C validator