Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddssat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem paddssat 35615
Description: A projective subspace sum is a set of atoms. (Contributed by NM, 3-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
padd0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
padd0.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
paddssat ((𝐾𝐵𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴)

Proof of Theorem paddssat
Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2770 . . 3 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2 eqid 2770 . . 3 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
3 padd0.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 padd0.p . . 3 + = (+𝑃𝐾)
51, 2, 3, 4paddval 35599 . 2 ((𝐾𝐵𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 + 𝑌) = ((𝑋𝑌) ∪ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)}))
6 unss 3936 . . . . . 6 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) ↔ (𝑋𝑌) ⊆ 𝐴)
76biimpi 206 . . . . 5 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋𝑌) ⊆ 𝐴)
8 ssrab2 3834 . . . . 5 {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)} ⊆ 𝐴
97, 8jctir 504 . . . 4 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) → ((𝑋𝑌) ⊆ 𝐴 ∧ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)} ⊆ 𝐴))
10 unss 3936 . . . 4 (((𝑋𝑌) ⊆ 𝐴 ∧ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)} ⊆ 𝐴) ↔ ((𝑋𝑌) ∪ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)}) ⊆ 𝐴)
119, 10sylib 208 . . 3 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) → ((𝑋𝑌) ∪ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)}) ⊆ 𝐴)
12113adant1 1123 . 2 ((𝐾𝐵𝑋𝐴𝑌𝐴) → ((𝑋𝑌) ∪ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)}) ⊆ 𝐴)
135, 12eqsstrd 3786 1 ((𝐾𝐵𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1070   = wceq 1630  wcel 2144  wrex 3061  {crab 3064  cun 3719  wss 3721   class class class wbr 4784  cfv 6031  (class class class)co 6792  lecple 16155  joincjn 17151  Atomscatm 35065  +𝑃cpadd 35596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-padd 35597
This theorem is referenced by:  paddasslem8  35628  paddasslem11  35631  paddasslem12  35632  paddasslem13  35633  paddasslem16  35636  paddasslem17  35637  paddass  35639  padd4N  35641  paddclN  35643  pmodl42N  35652  pclunN  35699  paddunN  35728  pmapocjN  35731  pclfinclN  35751  osumcllem1N  35757  osumcllem2N  35758  osumcllem9N  35765  osumcllem11N  35767  osumclN  35768  pexmidlem6N  35776  pexmidlem8N  35778  pl42lem3N  35782
  Copyright terms: Public domain W3C validator