Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddss12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem paddss12 35626
Description: Subset law for projective subspace sum. (unss12 3928 analog.) (Contributed by NM, 7-Mar-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
padd0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
padd0.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
paddss12 ((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑊𝐴) → ((𝑋𝑌𝑍𝑊) → (𝑋 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑊)))

Proof of Theorem paddss12
StepHypRef Expression
1 simpl1 1228 . . . . 5 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑍𝑊)) → 𝐾𝐵)
2 simpl2 1230 . . . . 5 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑍𝑊)) → 𝑌𝐴)
3 sstr 3752 . . . . . . . 8 ((𝑍𝑊𝑊𝐴) → 𝑍𝐴)
43ancoms 468 . . . . . . 7 ((𝑊𝐴𝑍𝑊) → 𝑍𝐴)
54ad2ant2l 799 . . . . . 6 (((𝑌𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑍𝑊)) → 𝑍𝐴)
653adantl1 1172 . . . . 5 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑍𝑊)) → 𝑍𝐴)
71, 2, 63jca 1123 . . . 4 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑍𝑊)) → (𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴))
8 simprl 811 . . . 4 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑍𝑊)) → 𝑋𝑌)
9 padd0.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
10 padd0.p . . . . 5 + = (+𝑃𝐾)
119, 10paddss1 35624 . . . 4 ((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) → (𝑋𝑌 → (𝑋 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑍)))
127, 8, 11sylc 65 . . 3 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑍𝑊)) → (𝑋 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑍))
139, 10paddss2 35625 . . . . . 6 ((𝐾𝐵𝑊𝐴𝑌𝐴) → (𝑍𝑊 → (𝑌 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑊)))
14133com23 1121 . . . . 5 ((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑊𝐴) → (𝑍𝑊 → (𝑌 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑊)))
1514imp 444 . . . 4 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑊𝐴) ∧ 𝑍𝑊) → (𝑌 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑊))
1615adantrl 754 . . 3 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑍𝑊)) → (𝑌 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑊))
1712, 16sstrd 3754 . 2 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑍𝑊)) → (𝑋 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑊))
1817ex 449 1 ((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑊𝐴) → ((𝑋𝑌𝑍𝑊) → (𝑋 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wss 3715  cfv 6049  (class class class)co 6814  Atomscatm 35071  +𝑃cpadd 35602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-padd 35603
This theorem is referenced by:  paddssw1  35650  paddunN  35734  pl42lem2N  35787
  Copyright terms: Public domain W3C validator