Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddss1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem paddss1 35606
Description: Subset law for projective subspace sum. (unss1 3925 analog.) (Contributed by NM, 7-Mar-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
padd0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
padd0.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
paddss1 ((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) → (𝑋𝑌 → (𝑋 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑍)))

Proof of Theorem paddss1
Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 3738 . . . . . . 7 (𝑋𝑌 → (𝑝𝑋𝑝𝑌))
21orim1d 920 . . . . . 6 (𝑋𝑌 → ((𝑝𝑋𝑝𝑍) → (𝑝𝑌𝑝𝑍)))
3 ssrexv 3808 . . . . . . 7 (𝑋𝑌 → (∃𝑞𝑋𝑟𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) → ∃𝑞𝑌𝑟𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
43anim2d 590 . . . . . 6 (𝑋𝑌 → ((𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) → (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑌𝑟𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))))
52, 4orim12d 919 . . . . 5 (𝑋𝑌 → (((𝑝𝑋𝑝𝑍) ∨ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → ((𝑝𝑌𝑝𝑍) ∨ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑌𝑟𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
65adantl 473 . . . 4 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑋𝑌) → (((𝑝𝑋𝑝𝑍) ∨ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → ((𝑝𝑌𝑝𝑍) ∨ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑌𝑟𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
7 simpl1 1228 . . . . 5 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑋𝑌) → 𝐾𝐵)
8 sstr 3752 . . . . . . 7 ((𝑋𝑌𝑌𝐴) → 𝑋𝐴)
983ad2antr2 1205 . . . . . 6 ((𝑋𝑌 ∧ (𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴)) → 𝑋𝐴)
109ancoms 468 . . . . 5 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑋𝑌) → 𝑋𝐴)
11 simpl3 1232 . . . . 5 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑋𝑌) → 𝑍𝐴)
12 eqid 2760 . . . . . 6 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
13 eqid 2760 . . . . . 6 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
14 padd0.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
15 padd0.p . . . . . 6 + = (+𝑃𝐾)
1612, 13, 14, 15elpadd 35588 . . . . 5 ((𝐾𝐵𝑋𝐴𝑍𝐴) → (𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑍) ↔ ((𝑝𝑋𝑝𝑍) ∨ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
177, 10, 11, 16syl3anc 1477 . . . 4 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑋𝑌) → (𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑍) ↔ ((𝑝𝑋𝑝𝑍) ∨ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
1812, 13, 14, 15elpadd 35588 . . . . 5 ((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) → (𝑝 ∈ (𝑌 + 𝑍) ↔ ((𝑝𝑌𝑝𝑍) ∨ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑌𝑟𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
1918adantr 472 . . . 4 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑋𝑌) → (𝑝 ∈ (𝑌 + 𝑍) ↔ ((𝑝𝑌𝑝𝑍) ∨ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑌𝑟𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
206, 17, 193imtr4d 283 . . 3 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑋𝑌) → (𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑍) → 𝑝 ∈ (𝑌 + 𝑍)))
2120ssrdv 3750 . 2 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑋𝑌) → (𝑋 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑍))
2221ex 449 1 ((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) → (𝑋𝑌 → (𝑋 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wrex 3051  wss 3715   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6813  lecple 16150  joincjn 17145  Atomscatm 35053  +𝑃cpadd 35584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-padd 35585
This theorem is referenced by:  paddss12  35608  paddasslem12  35620  pmod1i  35637  pl42lem3N  35770
  Copyright terms: Public domain W3C validator