Theorem paddasslem3 35630

Description: Lemma for paddass 35646. Restate projective space axiom ps-2 35286. (Contributed by NM, 8-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
paddasslem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
paddasslem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
paddasslem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
paddasslem3	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (((¬ 𝑥 ≤ (𝑟 ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≠ 𝑧) ∧ (𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑟) ∧ 𝑧 ≤ (𝑟 ∨ 𝑦))) → ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑠 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦) ∧ 𝑠 ≤ (𝑝 ∨ 𝑧))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   ∨ ,𝑠   𝐾,𝑠   ≤ ,𝑠   𝑠,𝑝   𝑠,𝑟   𝑥,𝑠   𝑦,𝑠   𝑧,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑟,𝑝)   ∨ (𝑥,𝑦,𝑧,𝑟,𝑝)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧,𝑟,𝑝)   ≤ (𝑥,𝑦,𝑧,𝑟,𝑝)

Proof of Theorem paddasslem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		paddasslem.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		paddasslem.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		paddasslem.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	1, 2, 3	ps-2 35286	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ ((¬ 𝑥 ≤ (𝑟 ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≠ 𝑧) ∧ (𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑟) ∧ 𝑧 ≤ (𝑟 ∨ 𝑦)))) → ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑠 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦) ∧ 𝑠 ≤ (𝑝 ∨ 𝑧)))
5	4	ex 397	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (((¬ 𝑥 ≤ (𝑟 ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≠ 𝑧) ∧ (𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑟) ∧ 𝑧 ≤ (𝑟 ∨ 𝑦))) → ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑠 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦) ∧ 𝑠 ≤ (𝑝 ∨ 𝑧))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943  ∃wrex 3062   class class class wbr 4786  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  lecple 16156  joincjn 17152  Atomscatm 35072  HLchlt 35159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-preset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-p0 17247  df-lat 17254  df-clat 17316  df-oposet 34985  df-ol 34987  df-oml 34988  df-covers 35075  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160

This theorem is referenced by:  paddasslem4  35631