Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddasslem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem paddasslem2 35628
Description: Lemma for paddass 35645. (Contributed by NM, 8-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddasslem.l = (le‘𝐾)
paddasslem.j = (join‘𝐾)
paddasslem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
paddasslem2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → 𝑧 (𝑟 𝑦))

Proof of Theorem paddasslem2
StepHypRef Expression
1 simp1l 1240 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp1r 1241 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → 𝑟𝐴)
3 simp23 1251 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → 𝑧𝐴)
4 simp22 1250 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → 𝑦𝐴)
52, 3, 43jca 1123 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → (𝑟𝐴𝑧𝐴𝑦𝐴))
6 simp21 1249 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → 𝑥𝐴)
7 simp3l 1244 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → ¬ 𝑟 (𝑥 𝑦))
8 paddasslem.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
9 paddasslem.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
10 paddasslem.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
118, 9, 10atnlej2 35187 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑟𝐴𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ ¬ 𝑟 (𝑥 𝑦)) → 𝑟𝑦)
121, 2, 6, 4, 7, 11syl131anc 1490 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → 𝑟𝑦)
131, 5, 123jca 1123 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑟𝐴𝑧𝐴𝑦𝐴) ∧ 𝑟𝑦))
14 simp3r 1245 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → 𝑟 (𝑦 𝑧))
158, 9, 10hlatexch1 35202 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑟𝐴𝑧𝐴𝑦𝐴) ∧ 𝑟𝑦) → (𝑟 (𝑦 𝑧) → 𝑧 (𝑦 𝑟)))
1613, 14, 15sylc 65 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → 𝑧 (𝑦 𝑟))
17 hllat 35171 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
181, 17syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → 𝐾 ∈ Lat)
19 eqid 2760 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2019, 10atbase 35097 . . . 4 (𝑟𝐴𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
212, 20syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → 𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
2219, 10atbase 35097 . . . 4 (𝑦𝐴𝑦 ∈ (Base‘𝐾))
234, 22syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))
2419, 9latjcom 17280 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑟 𝑦) = (𝑦 𝑟))
2518, 21, 23, 24syl3anc 1477 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → (𝑟 𝑦) = (𝑦 𝑟))
2616, 25breqtrrd 4832 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → 𝑧 (𝑟 𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6814  Basecbs 16079  lecple 16170  joincjn 17165  Latclat 17266  Atomscatm 35071  HLchlt 35158
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-preset 17149  df-poset 17167  df-plt 17179  df-lub 17195  df-glb 17196  df-join 17197  df-meet 17198  df-p0 17260  df-lat 17267  df-covers 35074  df-ats 35075  df-atl 35106  df-cvlat 35130  df-hlat 35159
This theorem is referenced by:  paddasslem4  35630
  Copyright terms: Public domain W3C validator