Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddasslem14 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem paddasslem14 35641
Description: Lemma for paddass 35646. Remove 𝑝𝑧, 𝑥𝑦, and ¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) from antecedent of paddasslem10 35637, using paddasslem11 35638, paddasslem12 35639, and paddasslem13 35640. (Contributed by NM, 11-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddasslem.l = (le‘𝐾)
paddasslem.j = (join‘𝐾)
paddasslem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddasslem.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
paddasslem14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ (𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧)))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))

Proof of Theorem paddasslem14
StepHypRef Expression
1 paddasslem.l . . . . . . . . 9 = (le‘𝐾)
2 paddasslem.j . . . . . . . . 9 = (join‘𝐾)
3 paddasslem.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 paddasslem.p . . . . . . . . 9 + = (+𝑃𝐾)
51, 2, 3, 4paddasslem11 35638 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 = 𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) ∧ 𝑧𝑍) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
653ad2antr3 1205 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 = 𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍)) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
76ex 397 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 = 𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → ((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))
87adantrd 479 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 = 𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ (𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))
98a1d 25 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 = 𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → ((𝑝𝐴𝑟𝐴) → (((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ (𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))))
109exp31 406 . . 3 (𝐾 ∈ HL → (𝑝 = 𝑧 → ((𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) → ((𝑝𝐴𝑟𝐴) → (((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ (𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))))))
11 3simpb 1144 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧𝑥 = 𝑦) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 = 𝑦))
12113anim1i 1155 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧𝑥 = 𝑦) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 = 𝑦) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)))
13 3simpc 1146 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) → (𝑦𝑌𝑧𝑍))
1413anim1i 602 . . . . . . . 8 (((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ (𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → ((𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ (𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))))
151, 2, 3, 4paddasslem12 35639 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 = 𝑦) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ (𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧)))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
1612, 14, 15syl2an 583 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧𝑥 = 𝑦) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ (𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧)))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
17163exp1 1445 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧𝑥 = 𝑦) → ((𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) → ((𝑝𝐴𝑟𝐴) → (((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ (𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))))
18173expia 1114 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) → (𝑥 = 𝑦 → ((𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) → ((𝑝𝐴𝑟𝐴) → (((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ (𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))))))
19 3simpa 1142 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧𝑥𝑦) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧))
20193anim1i 1155 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)))
21 3simpa 1142 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) → (𝑥𝑋𝑦𝑌))
22 3simpa 1142 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧)) → (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟)))
2321, 22anim12i 600 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → ((𝑥𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟))))
241, 2, 3, 4paddasslem13 35640 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟)))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
2520, 23, 24syl2an 583 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ (𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧)))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
2625expr 444 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍)) → ((𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧)) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))
27263expd 1446 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍)) → (𝑟 (𝑥 𝑦) → (𝑝 (𝑥 𝑟) → (𝑟 (𝑦 𝑧) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))))
281, 2, 3, 4paddasslem10 35637 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ (¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧)))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
2928expr 444 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍)) → ((¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧)) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))
30293expd 1446 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍)) → (¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) → (𝑝 (𝑥 𝑟) → (𝑟 (𝑦 𝑧) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))))
3127, 30pm2.61d 171 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍)) → (𝑝 (𝑥 𝑟) → (𝑟 (𝑦 𝑧) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))))
3231impd 396 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍)) → ((𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧)) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))
3332expimpd 441 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) → (((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ (𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))
34333exp 1112 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧𝑥𝑦) → ((𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) → ((𝑝𝐴𝑟𝐴) → (((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ (𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))))
35343expia 1114 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) → (𝑥𝑦 → ((𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) → ((𝑝𝐴𝑟𝐴) → (((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ (𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))))))
3618, 35pm2.61dne 3029 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧) → ((𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) → ((𝑝𝐴𝑟𝐴) → (((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ (𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))))
3736ex 397 . . 3 (𝐾 ∈ HL → (𝑝𝑧 → ((𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) → ((𝑝𝐴𝑟𝐴) → (((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ (𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))))))
3810, 37pm2.61dne 3029 . 2 (𝐾 ∈ HL → ((𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) → ((𝑝𝐴𝑟𝐴) → (((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ (𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))))
39383imp1 1440 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ (𝑝 (𝑥 𝑟) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧)))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wss 3723   class class class wbr 4786  cfv 6031  (class class class)co 6793  lecple 16156  joincjn 17152  Atomscatm 35072  HLchlt 35159  +𝑃cpadd 35603
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-preset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-p0 17247  df-lat 17254  df-clat 17316  df-oposet 34985  df-ol 34987  df-oml 34988  df-covers 35075  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160  df-padd 35604
This theorem is referenced by:  paddasslem15  35642
  Copyright terms: Public domain W3C validator