Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem paddass 35647
Description: Projective subspace sum is associative. Equation 16.2.1 of [MaedaMaeda] p. 68. In our version, the subspaces do not have to be nonempty. (Contributed by NM, 29-Dec-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
paddass.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddass.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
paddass ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Proof of Theorem paddass
StepHypRef Expression
1 simpl 468 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
2 simpr3 1237 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → 𝑍𝐴)
3 simpr2 1235 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → 𝑌𝐴)
4 simpr1 1233 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → 𝑋𝐴)
5 paddass.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6 paddass.p . . . . 5 + = (+𝑃𝐾)
75, 6paddasslem18 35646 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑍𝐴𝑌𝐴𝑋𝐴)) → (𝑍 + (𝑌 + 𝑋)) ⊆ ((𝑍 + 𝑌) + 𝑋))
81, 2, 3, 4, 7syl13anc 1478 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑍 + (𝑌 + 𝑋)) ⊆ ((𝑍 + 𝑌) + 𝑋))
9 hllat 35172 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
105, 6paddcom 35622 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
119, 10syl3an1 1166 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
12113adant3r3 1199 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
1312oveq1d 6811 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = ((𝑌 + 𝑋) + 𝑍))
145, 6paddssat 35623 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋𝐴) → (𝑌 + 𝑋) ⊆ 𝐴)
151, 3, 4, 14syl3anc 1476 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑌 + 𝑋) ⊆ 𝐴)
165, 6paddcom 35622 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑌 + 𝑋) ⊆ 𝐴𝑍𝐴) → ((𝑌 + 𝑋) + 𝑍) = (𝑍 + (𝑌 + 𝑋)))
179, 16syl3an1 1166 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑌 + 𝑋) ⊆ 𝐴𝑍𝐴) → ((𝑌 + 𝑋) + 𝑍) = (𝑍 + (𝑌 + 𝑋)))
181, 15, 2, 17syl3anc 1476 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → ((𝑌 + 𝑋) + 𝑍) = (𝑍 + (𝑌 + 𝑋)))
1913, 18eqtrd 2805 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑍 + (𝑌 + 𝑋)))
205, 6paddcom 35622 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐴𝑍𝐴) → (𝑌 + 𝑍) = (𝑍 + 𝑌))
219, 20syl3an1 1166 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑍𝐴) → (𝑌 + 𝑍) = (𝑍 + 𝑌))
22213adant3r1 1197 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑌 + 𝑍) = (𝑍 + 𝑌))
2322oveq2d 6812 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) = (𝑋 + (𝑍 + 𝑌)))
245, 6paddssat 35623 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑍𝐴𝑌𝐴) → (𝑍 + 𝑌) ⊆ 𝐴)
251, 2, 3, 24syl3anc 1476 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑍 + 𝑌) ⊆ 𝐴)
265, 6paddcom 35622 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴 ∧ (𝑍 + 𝑌) ⊆ 𝐴) → (𝑋 + (𝑍 + 𝑌)) = ((𝑍 + 𝑌) + 𝑋))
279, 26syl3an1 1166 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴 ∧ (𝑍 + 𝑌) ⊆ 𝐴) → (𝑋 + (𝑍 + 𝑌)) = ((𝑍 + 𝑌) + 𝑋))
281, 4, 25, 27syl3anc 1476 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑋 + (𝑍 + 𝑌)) = ((𝑍 + 𝑌) + 𝑋))
2923, 28eqtrd 2805 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑍 + 𝑌) + 𝑋))
308, 19, 293sstr4d 3797 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ⊆ (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
315, 6paddasslem18 35646 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) ⊆ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
3230, 31eqssd 3769 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wss 3723  cfv 6030  (class class class)co 6796  Latclat 17253  Atomscatm 35072  HLchlt 35159  +𝑃cpadd 35604
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-preset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-p0 17247  df-lat 17254  df-clat 17316  df-oposet 34985  df-ol 34987  df-oml 34988  df-covers 35075  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160  df-padd 35605
This theorem is referenced by:  padd12N  35648  padd4N  35649  pmodl42N  35660  pmapjlln1  35664
  Copyright terms: Public domain W3C validator