MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  p1modz1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem p1modz1 15196
Description: If a number greater than 1 divides another number, the second number increased by 1 is 1 modulo the first number. (Contributed by AV, 19-Mar-2022.)
Assertion
Ref Expression
p1modz1 ((𝑀𝐴 ∧ 1 < 𝑀) → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1)

Proof of Theorem p1modz1
StepHypRef Expression
1 dvdszrcl 15194 . . 3 (𝑀𝐴 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ))
2 0red 10243 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀) → 0 ∈ ℝ)
3 1red 10257 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀) → 1 ∈ ℝ)
4 zre 11583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
54adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
62, 3, 53jca 1122 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀) → (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
7 0lt1 10752 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 1
87a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℤ → 0 < 1)
98anim1i 602 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀) → (0 < 1 ∧ 1 < 𝑀))
10 lttr 10316 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝑀) → 0 < 𝑀))
116, 9, 10sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀) → 0 < 𝑀)
1211ex 397 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℤ → (1 < 𝑀 → 0 < 𝑀))
13 elnnz 11589 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
1413simplbi2 488 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℤ → (0 < 𝑀𝑀 ∈ ℕ))
1512, 14syld 47 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → (1 < 𝑀𝑀 ∈ ℕ))
1615adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (1 < 𝑀𝑀 ∈ ℕ))
1716imp 393 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ)
18 dvdsmod0 15195 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐴) → (𝐴 mod 𝑀) = 0)
1917, 18sylan 569 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ 𝑀𝐴) → (𝐴 mod 𝑀) = 0)
2019ex 397 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → (𝑀𝐴 → (𝐴 mod 𝑀) = 0))
21 oveq1 6800 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 mod 𝑀) = 0 → ((𝐴 mod 𝑀) + 1) = (0 + 1))
22 0p1e1 11334 . . . . . . . . . . 11 (0 + 1) = 1
2321, 22syl6eq 2821 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 mod 𝑀) = 0 → ((𝐴 mod 𝑀) + 1) = 1)
2423oveq1d 6808 . . . . . . . . 9 ((𝐴 mod 𝑀) = 0 → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = (1 mod 𝑀))
2524adantl 467 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 0) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = (1 mod 𝑀))
26 zre 11583 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
2726adantl 467 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
2827adantr 466 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℝ)
29 1red 10257 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → 1 ∈ ℝ)
3017nnrpd 12073 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ+)
3128, 29, 303jca 1122 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+))
3231adantr 466 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 0) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+))
33 modaddmod 12917 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = ((𝐴 + 1) mod 𝑀))
3432, 33syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 0) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = ((𝐴 + 1) mod 𝑀))
354adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
36 1mod 12910 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑀) → (1 mod 𝑀) = 1)
3735, 36sylan 569 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → (1 mod 𝑀) = 1)
3837adantr 466 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 0) → (1 mod 𝑀) = 1)
3925, 34, 383eqtr3d 2813 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 0) → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1)
4039ex 397 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → ((𝐴 mod 𝑀) = 0 → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1))
4120, 40syld 47 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → (𝑀𝐴 → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1))
4241ex 397 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (1 < 𝑀 → (𝑀𝐴 → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1)))
4342com23 86 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑀𝐴 → (1 < 𝑀 → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1)))
441, 43mpcom 38 . 2 (𝑀𝐴 → (1 < 𝑀 → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1))
4544imp 393 1 ((𝑀𝐴 ∧ 1 < 𝑀) → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145   class class class wbr 4786  (class class class)co 6793  cr 10137  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   < clt 10276  cn 11222  cz 11579  +crp 12035   mod cmo 12876  cdvds 15189
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-fl 12801  df-mod 12877  df-dvds 15190
This theorem is referenced by:  lgslem4  25246
  Copyright terms: Public domain W3C validator