Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  p1evtxdp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem p1evtxdp1 26645
 Description: If an edge 𝐸 (not being a loop) which contains vertex 𝑈 is added to a graph 𝐺 (yielding a graph 𝐹), the degree of 𝑈 is increased by 1. (Contributed by AV, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
p1evtxdeq.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
p1evtxdeq.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
p1evtxdeq.f (𝜑 → Fun 𝐼)
p1evtxdeq.fv (𝜑 → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
p1evtxdeq.fi (𝜑 → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ∪ {⟨𝐾, 𝐸⟩}))
p1evtxdeq.k (𝜑𝐾𝑋)
p1evtxdeq.d (𝜑𝐾 ∉ dom 𝐼)
p1evtxdeq.u (𝜑𝑈𝑉)
p1evtxdp1.e (𝜑𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
p1evtxdp1.n (𝜑𝑈𝐸)
p1evtxdp1.l (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝐸))
Assertion
Ref Expression
p1evtxdp1 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 1))

Proof of Theorem p1evtxdp1
StepHypRef Expression
1 p1evtxdeq.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 p1evtxdeq.i . . 3 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3 p1evtxdeq.f . . 3 (𝜑 → Fun 𝐼)
4 p1evtxdeq.fv . . 3 (𝜑 → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
5 p1evtxdeq.fi . . 3 (𝜑 → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ∪ {⟨𝐾, 𝐸⟩}))
6 p1evtxdeq.k . . 3 (𝜑𝐾𝑋)
7 p1evtxdeq.d . . 3 (𝜑𝐾 ∉ dom 𝐼)
8 p1evtxdeq.u . . 3 (𝜑𝑈𝑉)
9 p1evtxdp1.e . . 3 (𝜑𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9p1evtxdeqlem 26643 . 2 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 ((VtxDeg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)‘𝑈)))
11 fvex 6342 . . . . . . 7 (Vtx‘𝐺) ∈ V
121, 11eqeltri 2846 . . . . . 6 𝑉 ∈ V
13 snex 5036 . . . . . 6 {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V
1412, 13pm3.2i 447 . . . . 5 (𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V)
15 opiedgfv 26108 . . . . 5 ((𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V) → (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = {⟨𝐾, 𝐸⟩})
1614, 15mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = {⟨𝐾, 𝐸⟩})
17 opvtxfv 26105 . . . . 5 ((𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V) → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = 𝑉)
1814, 17mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = 𝑉)
19 p1evtxdp1.n . . . 4 (𝜑𝑈𝐸)
20 p1evtxdp1.l . . . 4 (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝐸))
2116, 18, 6, 8, 9, 19, 201hevtxdg1 26637 . . 3 (𝜑 → ((VtxDeg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)‘𝑈) = 1)
2221oveq2d 6809 . 2 (𝜑 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 ((VtxDeg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)‘𝑈)) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 1))
2310, 22eqtrd 2805 1 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 1))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ∉ wnel 3046  Vcvv 3351   ∪ cun 3721  𝒫 cpw 4297  {csn 4316  ⟨cop 4322   class class class wbr 4786  dom cdm 5249  Fun wfun 6025  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  1c1 10139   ≤ cle 10277  2c2 11272   +𝑒 cxad 12149  ♯chash 13321  Vtxcvtx 26095  iEdgciedg 26096  VtxDegcvtxdg 26596 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8965  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-n0 11495  df-xnn0 11566  df-z 11580  df-uz 11889  df-xadd 12152  df-fz 12534  df-hash 13322  df-vtx 26097  df-iedg 26098  df-vtxdg 26597 This theorem is referenced by:  vdegp1bi  26668
 Copyright terms: Public domain W3C validator