Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  p1evtxdeqlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem p1evtxdeqlem 26618
 Description: Lemma for p1evtxdeq 26619 and p1evtxdp1 26620. (Contributed by AV, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
p1evtxdeq.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
p1evtxdeq.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
p1evtxdeq.f (𝜑 → Fun 𝐼)
p1evtxdeq.fv (𝜑 → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
p1evtxdeq.fi (𝜑 → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ∪ {⟨𝐾, 𝐸⟩}))
p1evtxdeq.k (𝜑𝐾𝑋)
p1evtxdeq.d (𝜑𝐾 ∉ dom 𝐼)
p1evtxdeq.u (𝜑𝑈𝑉)
p1evtxdeq.e (𝜑𝐸𝑌)
Assertion
Ref Expression
p1evtxdeqlem (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 ((VtxDeg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)‘𝑈)))

Proof of Theorem p1evtxdeqlem
StepHypRef Expression
1 p1evtxdeq.i . 2 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2 p1evtxdeq.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3 fvex 6362 . . . . 5 (Vtx‘𝐺) ∈ V
42, 3eqeltri 2835 . . . 4 𝑉 ∈ V
5 snex 5057 . . . 4 {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V
64, 5pm3.2i 470 . . 3 (𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V)
7 opiedgfv 26086 . . . 4 ((𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V) → (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = {⟨𝐾, 𝐸⟩})
87eqcomd 2766 . . 3 ((𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V) → {⟨𝐾, 𝐸⟩} = (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩))
96, 8ax-mp 5 . 2 {⟨𝐾, 𝐸⟩} = (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)
10 opvtxfv 26083 . . 3 ((𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V) → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = 𝑉)
116, 10mp1i 13 . 2 (𝜑 → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = 𝑉)
12 p1evtxdeq.fv . 2 (𝜑 → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
13 p1evtxdeq.e . . . . 5 (𝜑𝐸𝑌)
14 dmsnopg 5765 . . . . 5 (𝐸𝑌 → dom {⟨𝐾, 𝐸⟩} = {𝐾})
1513, 14syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom {⟨𝐾, 𝐸⟩} = {𝐾})
1615ineq2d 3957 . . 3 (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ dom {⟨𝐾, 𝐸⟩}) = (dom 𝐼 ∩ {𝐾}))
17 p1evtxdeq.d . . . . 5 (𝜑𝐾 ∉ dom 𝐼)
18 df-nel 3036 . . . . 5 (𝐾 ∉ dom 𝐼 ↔ ¬ 𝐾 ∈ dom 𝐼)
1917, 18sylib 208 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝐾 ∈ dom 𝐼)
20 disjsn 4390 . . . 4 ((dom 𝐼 ∩ {𝐾}) = ∅ ↔ ¬ 𝐾 ∈ dom 𝐼)
2119, 20sylibr 224 . . 3 (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ {𝐾}) = ∅)
2216, 21eqtrd 2794 . 2 (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ dom {⟨𝐾, 𝐸⟩}) = ∅)
23 p1evtxdeq.f . 2 (𝜑 → Fun 𝐼)
24 p1evtxdeq.k . . 3 (𝜑𝐾𝑋)
25 funsng 6098 . . 3 ((𝐾𝑋𝐸𝑌) → Fun {⟨𝐾, 𝐸⟩})
2624, 13, 25syl2anc 696 . 2 (𝜑 → Fun {⟨𝐾, 𝐸⟩})
27 p1evtxdeq.u . 2 (𝜑𝑈𝑉)
28 p1evtxdeq.fi . 2 (𝜑 → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ∪ {⟨𝐾, 𝐸⟩}))
291, 9, 2, 11, 12, 22, 23, 26, 27, 28vtxdun 26587 1 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 ((VtxDeg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)‘𝑈)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ∉ wnel 3035  Vcvv 3340   ∪ cun 3713   ∩ cin 3714  ∅c0 4058  {csn 4321  ⟨cop 4327  dom cdm 5266  Fun wfun 6043  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813   +𝑒 cxad 12137  Vtxcvtx 26073  iEdgciedg 26074  VtxDegcvtxdg 26571 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-xnn0 11556  df-z 11570  df-uz 11880  df-xadd 12140  df-hash 13312  df-vtx 26075  df-iedg 26076  df-vtxdg 26572 This theorem is referenced by:  p1evtxdeq  26619  p1evtxdp1  26620
 Copyright terms: Public domain W3C validator