Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  p1evtxdeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem p1evtxdeq 26644
 Description: If an edge 𝐸 which does not contain vertex 𝑈 is added to a graph 𝐺 (yielding a graph 𝐹), the degree of 𝑈 is the same in both graphs. (Contributed by AV, 2-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
p1evtxdeq.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
p1evtxdeq.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
p1evtxdeq.f (𝜑 → Fun 𝐼)
p1evtxdeq.fv (𝜑 → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
p1evtxdeq.fi (𝜑 → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ∪ {⟨𝐾, 𝐸⟩}))
p1evtxdeq.k (𝜑𝐾𝑋)
p1evtxdeq.d (𝜑𝐾 ∉ dom 𝐼)
p1evtxdeq.u (𝜑𝑈𝑉)
p1evtxdeq.e (𝜑𝐸𝑌)
p1evtxdeq.n (𝜑𝑈𝐸)
Assertion
Ref Expression
p1evtxdeq (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈))

Proof of Theorem p1evtxdeq
StepHypRef Expression
1 p1evtxdeq.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 p1evtxdeq.i . . 3 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3 p1evtxdeq.f . . 3 (𝜑 → Fun 𝐼)
4 p1evtxdeq.fv . . 3 (𝜑 → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
5 p1evtxdeq.fi . . 3 (𝜑 → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ∪ {⟨𝐾, 𝐸⟩}))
6 p1evtxdeq.k . . 3 (𝜑𝐾𝑋)
7 p1evtxdeq.d . . 3 (𝜑𝐾 ∉ dom 𝐼)
8 p1evtxdeq.u . . 3 (𝜑𝑈𝑉)
9 p1evtxdeq.e . . 3 (𝜑𝐸𝑌)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9p1evtxdeqlem 26643 . 2 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 ((VtxDeg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)‘𝑈)))
111fvexi 6345 . . . . . 6 𝑉 ∈ V
12 snex 5037 . . . . . 6 {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V
1311, 12pm3.2i 456 . . . . 5 (𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V)
14 opiedgfv 26108 . . . . 5 ((𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V) → (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = {⟨𝐾, 𝐸⟩})
1513, 14mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = {⟨𝐾, 𝐸⟩})
16 opvtxfv 26105 . . . . 5 ((𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V) → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = 𝑉)
1713, 16mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = 𝑉)
18 p1evtxdeq.n . . . 4 (𝜑𝑈𝐸)
1915, 17, 6, 8, 9, 181hevtxdg0 26636 . . 3 (𝜑 → ((VtxDeg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)‘𝑈) = 0)
2019oveq2d 6812 . 2 (𝜑 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 ((VtxDeg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)‘𝑈)) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 0))
211vtxdgelxnn0 26603 . . . 4 (𝑈𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) ∈ ℕ0*)
22 xnn0xr 11575 . . . 4 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) ∈ ℕ0* → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) ∈ ℝ*)
238, 21, 223syl 18 . . 3 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) ∈ ℝ*)
2423xaddid1d 12279 . 2 (𝜑 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 0) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈))
2510, 20, 243eqtrd 2809 1 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ∉ wnel 3046  Vcvv 3351   ∪ cun 3721  {csn 4317  ⟨cop 4323  dom cdm 5250  Fun wfun 6024  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796  0cc0 10142  ℝ*cxr 10279  ℕ0*cxnn0 11570   +𝑒 cxad 12149  Vtxcvtx 26095  iEdgciedg 26096  VtxDegcvtxdg 26596 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-card 8969  df-cda 9196  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-n0 11500  df-xnn0 11571  df-z 11585  df-uz 11894  df-xadd 12152  df-fz 12534  df-hash 13322  df-vtx 26097  df-iedg 26098  df-vtxdg 26597 This theorem is referenced by:  vdegp1ai  26667
 Copyright terms: Public domain W3C validator